De thi & dap an HSG toan 9Bac giang 2010.@

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: Toán-lớp 9.
Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010.
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề).


Câu I (4,0 điểm).
Cho biểu thức
.
1. Tìm các giá trị của x để
.
2. Chứng minh rằng
với mọi x thoả mãn
.
Câu II (4,0 điểm).
1. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn : a2 + c2 = b2 + d2
Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số .
2. Tìm
nguyên dương thỏa mãn:


Câu III (4,0 điểm).
1. Giải phương trình:
.
2. Cho phương trình:
(m là tham số).
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm
phân biệt thỏa mãn:
.
Câu IV (6,0 điểm).
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AO. Một đường thẳng a vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại I. Trên đoạn CI lấy điểm K bất kì (K không trùng với C và I). Tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt đường thẳng a tại N, tia BM cắt đường thẳng a tại D.
1. Chứng minh rằng tam giác MNK là tam giác cân.
2. Tính diện tích tam giác ABD theo R, khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI.
3. Chứng minh rằng khi K chuyển động trên đoạn thẳng CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu V (2,0 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

.
----------------Hết----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên học sinh:.............................................................................................Số báo danh:..............................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG


HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI



Chú ý: Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.

Câu
Lời giải – Kết quả
Điểm

I.1
2(điểm)















I.2
2(điểm)
1)


 0,5




 0,5


Ta có

 0,5


Từ đó giải được

 0,5


2)Ta có:

 1


Do
nên

 0,5


Vậy

0,5

II.1
2(điểm)















II.2
2(điểm)
1)
Xét ( a2 + b2 + c2 + d2 ) - ( a + b + c + d)
= a(a -1) + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1)
0,5


Vì a là số nguyên dương nên a, (a – 1) là hai số tự nhiên liên tiếp

a(a-1)
tương tự ta có b(b-1); c(c-1); d(d-1) đều chia hết cho 2
0,5



a(a -1) + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1) là số chẵn
Lại có a2 + c2 = b2 + d2
a2 + b2 + c2 + d2 = 2( b2 + d2) là số chẵn.
0,5


Do đó a + b + c + d là số chẵn mà a + b + c + d > 2

a + b + c + d là hợp số.
0,5


2)
(1)
Vì x, y là các số nguyên dương nên từ (1)
x2y – 3y
xy + 3

x(xy +3) – 3(x+y)

3(x+y)


3( x