DE THI - DAP AN DE THI HSG TOAN 9 - DONG NAI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG NAI

ĐỀ CHÍNH THỨC
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2016 – 2017

Môn Toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi: 5/4/2017
(Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)


Câu 1. (3 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa :

Tính giá trị biểu thức:

Câu 2. (4 điểm): Giải phương trình:
a)

b)

Câu 3. (5 điểm):
Cho a, b là hai số thực , x, y là hai số thực dương.
Chứng minh rằng:
.
Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1.
Chứng minh rằng:
.
Câu 4. (5 điểm): Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7.
Gọi G, I lần lượt là trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: IG//BC.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh: A, M, I, N cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 5. (3 điểm). Cho tam giác vuông có độ dài ba cạnh là số nguyên. Chứng minh rằng: Bán kính đường tròn nội tiếp cũng là số nguyên.


--- Hết ---
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN 9 – TỈNH ĐỒNG NAI 2016 – 2017
Câu 1. (3 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa :

Tính giá trị biểu thức:

Giải: Theo bài ra:

Suy ra:

Ta được :



Câu 2. (4 điểm): Giải phương trình:
a)
b)

Giải:


Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 2 or x = 4
b)
. ĐKXĐ:



Giải phương trình (1):



Giải phương trình (2):
(
)


Vậy phương trình có 2 nghiệm: x =2;
.
Câu 3. (5 điểm):
Cho a, b là hai số thực , x, y là hai số thực dương.
Chứng minh rằng:
.
Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1.
Chứng minh rằng:
.
Giải:
a)



(đúng với x, y >0)
Vậy:
với x, y >0.
b) Ta có: Với x>0, y >0 với x + y = 1 thì x = 1 – y và y = 1 – x;


Do x>0, y> 0, Áp dụng Côssi cho 2 số dương:




Từ (1) và (2) suy ra:


Câu 4. (5 điểm): Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7.
Gọi G, I lần lượt là trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: IG//BC.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh: A, M, I, N cùng nằm trên một đường tròn.

a. Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường phân giác của góc A, góc B, góc C. Gọi T là trung điểm của BC.
Do AD là đường phân giác của tam giác ABC nên:


Tam giác ABD có BI là đường phân giác nên :
(1)
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:

Suy ra: IG//DT hay IG//BC.



b) Cách 1:
BMI =
BDI (c.g.c) vì: BD = BM = 2,5;
; BI là cạnh chung;
Suy ra

Chứng minh tương tự:
CNI=
CDI (c.g.c)
Suy ra

Mà
nên

suy ra

Nên tứ giác AMIN nội tiếp.
Cách 2: Gọi K là giao điểm của MN và AI
Ta có: Theo công thức độ dài đường phân giác:


Do MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC, suy ra K cũng là trung điểm của AI.
Do MK là đường trung bình của tam giác ABD nên MK =

Và NK =



Ta có


;

Suy ra

Ta có:
;

Suy ra AK.KI=KM.KN

Suy ra
AKM

NKI suy ra
suy ra tứ