ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN 2018 - 2019 CÓ ĐÁP ÁN CỰC HAY

SỞ GD&ĐT KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN THI: TOÁN
Dùng cho thí sinh vào lớp chuyên Toán, chuyên Tin
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề bài )

Câu 1 ( 3,0 điểm ).
1. a) Giải phương trình sau:
.
b) Giải phương trình:
.
c) Cho
Giải phương trình: f(f(f(f(x)))) = 65539 .
2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + 4x + 1 = y4 .
Câu 2 ( 2,0 điểm ).
a) Cho A = a + b + c + m + n + p, B = ab + bc + ca – mn – np – pm và C = abc + mnp. Biết a, b, c, m, n, p là các số nguyên dương và cả B, C đều chia hết cho A. Chứng minh A là hợp số .
b) Cho x, y là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức:
. Chứng minh:
là một số hữu tỉ.
c) Cho hai số a và b thỏa mãn a > 0, b > 0 . Xét tập hợp T các số có dạng: T = { ax + by }, trong đó x và y là các số thỏa mãn x,y > 0 và x + y = 1. Chứng minh rằng các số:
và
đều thuộc tập hợp T .
Câu 3 ( 1,0 điểm ). Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [ 0 ;4 ]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

.
Câu 4 ( 3,0 điểm ). Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ). M, N nằm trên cạnh BC sao cho M nằm giữa N và B. Lấy các điểm P, Q trên AM, AN sao cho BP, CQ cùng vuông góc với BC. Gọi K, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ, AMN và L là hình chiếu của K trên AJ. E là trực tâm tam giác AMN, S là hình chiếu của E trên MN và F là trung điểm của MN.
1. Tính AE theo MJ và MN.
2. a) Gọi R là hình chiếu của Q trên đoạn thẳng BP và D là giao điểm của hai đường thẳng QR và AP, kẻ đường kính AT của đường tròn ( K ). Chứng minh rằng: AL. CQ + QR . KL = AL . BP và MS.MB.PD2 = MA.MP.RD2.
b) Chứng minh rằng: RD.PM.AL + NC.AL.PD = JL.BC. PD.
Câu 5: ( 1,0 điểm ). Cho a1, a2, …., an ( n
3) là các số thực. Chứng minh rằng: Khi đó ai, aj, ak là độ dài ba cạnh của một tam giác, trong đó i, j, k là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện 0 < i < j < k
n. Biết rằng n số thực trên là các số thỏa mãn:
.
HẾT
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Họ và tên thí sinh:………………………………………….Số báo danh:……………………………………...
Giám thị số 1:………………………………………………Giám thị số 2:…………………………………….

SỞ GD&ĐT KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018 – 2019
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
( Hướng dẫn chấm có 07 trang ) Dùng cho thí sinh vào lớp chuyên Toán, chuyên Tin

A. LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0.25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM


1


































Khi đó: (x – 3)16 + 3 = 65539


.
Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm S = {5; 1}.












0.25



0.25






0.5


0.5




0.5

0.25


0.25




c. Giải phương trình:
.