DE THI CHUYEN NT -HD 2010

Câu I (2.5 điểm):
1) Giải hệ phương trình:


2) Tìm m nguyên để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:


Câu II (2.5 điểm):
1) Rút gọn biểu thức:

với

2) Cho trước số hữu tỉ m sao cho
là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để:

Câu III (2.0 điểm):
1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dương và biết
. Chứng minh rằng:
là hợp số.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu IV (2.0 điểm):
Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P trên NP, MP, MN. Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lượt lấy D, E sao cho DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho
. Chứng minh rằng:
MD = ME
2) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đường tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK.
Câu V (1.0 điểm):
Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.





SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI
Năm học 2009-2010
Môn thi : Toán
Hướng dẫn chấm


Câu
Phần
Nội dung
Điểm

Câu I
2,5 điểm
1)
1,5điểm


Từ (2)
x
0. Từ đó
, thay vào (1) ta có:
0.25





0.25






0.25



Giải ra ta được
hoặc

0.25



Từ
;

0.25



Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (1; 1); (-1; -1);
;

0.25


2)
1,0điểm
Điều kiện để phương trình có nghiệm:

0.25




. Vì (m - 2) > (m - 3) nên:





m = 2 hoặc m = 3.
0.25



 Khi m = 2

= 0
x = -1 (thỏa mãn)
Khi m = 3

= 0
x = - 1,5 (loại).
0.25



 Vậy m = 2.
0.25

Câu II
2,5 điểm
1)
1,5điểm
Đặt



0.25





0.25





0.25





0.25





0.25





0.25


2)
1,0điểm

(1)
Giả sử có (1)


Từ (1), (2)

 0.25



Nếu

là số hữu tỉ. Trái với giả thiết!


 0.25




. Nếu b
0 thì
là số hữu tỉ. Trái với giả thiết!
. Từ đó ta tìm được c = 0.
 0.25



Ngược lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng. Vậy: a = b = c = 0
 0.25

Câu III
2 điểm
1)
1,0điểm
Theo bài ra f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a nguyên dương.
0.25



Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c
= 98a + 16b + 2c
16b + 2c = (2010- 98a)
0.25



Ta có f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c
= 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c)
= 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010)

0.25



Vì a nguyên dương nên 16a + 2010>1 .