De thi chuyen KHTN Ha Noi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ Khoá ngày 24.6.2010
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (1,5 điểm)
Xác định tham số m để phương trình
có hai nghiệm phân biệt
thoả mãn:
.

Bài 2: (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
khi các số thực x, y thay đổi. Giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại các giá trị nào của x và y.

Bài 3: (2,5điểm)
a) Giải phương trình :
.
b) Giải hệ phương trình :

Bài 4: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = 5a, CA = 4a, AB = 3a. Đường trung trực của đoạn AC cắt đường phân giác trong của góc BAC tại K.
a) Gọi (K) là đường tròn có tâm K và tiếp xúc với đường thẳng AB. Chứng minh rằng đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn AK cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Bài 5: (2,0 điểm)
a) Với bộ số (6 ; 5 ; 2), ta có đẳng thức đúng :
.
Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b ; c) gồm các chữ số hệ thập phân a , b, c đôi một khác nhau và khác 0 sao cho đẳng thức
đúng.
b) Cho tam giác có số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc còn lại và độ dài các cạnh a, b, c của tam giác đó thoả mãn:
.
Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều.
--------------- HẾT ---------------


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ Khoá ngày 24.6.2010
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
 Nội dung
Điểm

Bài 1

(1,5đ)


Phương trình có hai nghiệm phân biệt

0,25




0,25


Ta có:



0,25




0,25



Thoả mãn (*)
Vậy: m = ( 6 thoả mãn yêu cầu bài toán .
0,5

BÀI 2

(2đ)


Ta có:

0,25




0,5




0,5



với mọi x, y.
0,25



khi và chỉ khi:

0,25


 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
đạt khi
và

0,25

Bài 3

(2,5đ)

3.a
(1đ)
Lập phương hai vế phương trình
(1), ta được:


0,25


Dùng (1) ta có:

0,25


Giải (2) và thử lại tìm được :
là hai nghiệm của phương trình đã cho.
0,5


3.b
(1đ,5)
Điều kiện : x ( 0; y ( 0 .
0,25


Viết lại hệ :

0,5


Đặt :
;
, ta có hệ :

0,25


Giải ra được :
.
0,25


Giải ra được : x = (1 ; y = (1. Hệ đã cho có nghiệm : (x ; y) = ((1 ; (1).
0,25

BÀI 4
(2đ)



















4. a
(1đ)






Do BC2 = AC2 + AB2 nên tam giác ABC vuông tại A.

0,25


Đường tròn (O) ngoại tiếp ΔABC có tâm là trung điểm O của BC, có bán kính
.
0,25


Gọi Q là trung điểm AC và R là tiếp điểm của (K) và AB.
KQAR là hình vuông cạnh 2a. Đường tròn (K) có bán kính ρ = 2a
0,25


Do OK= KQ – OQ = 2a –
a =
a = r – ρ, nên (K) tiếp xúc trong với (O).
0,25

4.b
(1đ)





Gọi I là trung điểm AK