De thi chuyen KHTN 20112012 V2.@

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2011


MÔN THI: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu1:
1.Giải phương trình:


2.Giải hệ phương trình :


Câu 2: 
1.Với mọi số thực a, ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất
không vượt quá a và kí hiệu là : [a].
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương 
 thì biểu thức:


không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên.
2. Với x, y là các số thực dương thảo mãn đẳng thức:

Tìm GTNN của biểu thức:


Câu 3:
Cho hình thang ABCD với BC song song AD. Các góc 
và 

 là các góc nhọn. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở I. P là điểm
bất kì trên đoạn thẳng BC ( P không trùng B,C). Giả sử đường tròn ngoại tiếp
tam giác BIP cắt đoạn thẳng PA ở M khác P và đường tròn ngoại tiếp tam
giác CIP cắt đoạn thẳng PD tại N khác P. 1. Chứng minh rằng 5 điểm A, M, I, N, D cùng nằm trên 1 đường tròn,
gọi đường tròn này là (K)
2. Giả sử BM cắt CN ở Q, chứng minh Q cũng thuộc (K)
3. Trong trường hợp P, I, Q thẳng hàng, chứng minh rằng:

Câu 4: Giả sử A là 1 tập con của tập các số tự nhiên N. Tập hợp A có phần tử
nhỏ nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x thuộc A (x khác 1) luôn tồn
tại a, b cũng thuộc A sao cho
(a có thể bằng b). Hãy tìm một tập
hợp A có số phần tử nhỏ nhất. 
Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm.


Đáp án
Câu1:
1.Giải phương trình:




2.Giải hệ phương trình :

Đặt x + y = a, xy = b
ta có
Giải(2) ta được hoặc
Suy ra x = 0; y= 0 hoặc x = y = 1
Câu 2: 
n + a2 không là lập phương của một số nguyên.
2. Với x, y là các số thực dương thảo mãn đẳng thức:



=> AMinkhi x = y =1, z =2.



Ta có
Tứ giác AMID nội tiếp
Tương tự ta có tứ giác AIND nội tiếp
ĐPCM
b)

=> Tứ giác QMIN nội tiếp
=> Đpcm.
c) P, I, Q thẳng hàng mà => QA = QD
=> mà
Mà


Câu V
A có số phần tử ít nhất là 9 với các phần tử là 1; 2; 3; 6; 12; 24; 25; 50; 100.