đề thi chuyên

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)



ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I

Bài 1: (1.5 điểm)
Thực hiện tính:

với


Bài 2: (2.5 điểm)
Giải các phương trình:
a.

b.


Bài 3: (2.0 điểm)
a. Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên.
b. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0
x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)

Bài 4: ( 3.0 điểm)
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M. Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai E. I là trung điểm của DE. Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K.
a. Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh ( ICB = ( IDK
c. Chứng minh H là trung điểm của DK.

Bài 5: ( 1.0 điểm)
Cho A(n) = n2(n4 - 1). Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n.






UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)



ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II
Bài 1: (2.0 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
. Với
là các số dương.
b) Cho
là hai số dương và
.Tìm giá trị nhỏ nhất của

;
.
Bài 2: (2.0 điểm)
Giải hệ phương trình:


Bài 3: (2.0 điểm)
Hình chữ nhật ABCD có M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm P. DB cắt PN tại Q và cắt MN tại O. Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM tại H.
a. Chứng minh HM = HN.
b. Chứng minh MN là phân giác của góc QMP.

Bài 4: (3.0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C. CH cắt AB tại I
a. Tính góc CIF.
b. Chứng minh AE.AC + BF. BC không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn.
c. Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó.

Bài 5: (1.0 điểm)
Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.





UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: Toán


HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I
Bài 1: (1.5 điểm)
Thực hiện tính:

với



0,75

Thay
vào được:

0,75

Bài 2: (2.5 điểm)
Giải các phương trình:
a.


.
Đặt
(y ( 0) được: y2 - y - 2 = 0
0,50

Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = 2.
0,25

Với y = 2 giải
được x1 = 0; x2 = -5.
0,25

Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm
0,25

Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x. Lúc này cần đặt điều kiện khi bình phương hai vế.


 b.



0,25