ĐỀ THI CHỌN HSG T9 - ĐỀ SỐ 13

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH THI GIỎI HUYỆN NĂM 2016
Môn thi: TOÁN 9 - Bài 4
Thời gian làm bài : 120 phút.
Đề ra :
Câu 1. (6đ)
Cho biểu thức

Rút gọn biểu thức
Tìm giá trị của x để P có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Tính gia trị của P khi

Câu 2. (4đ)
a. Cho hai số x và y là hai số dương và x3+y3= x-y.
Chứng minh rằng : x2+ y2<1
b, Chứng minh rằng , nếu
và a + b + c = abc
thì ta có:

c . Giải phương trình:

Câu 3. (3 điểm).
Cho
thỏa mãn
. Chứng minh rằng:


Câu 4. (6 điểm).
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm), cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q). Gọi H là giao điểm của OM và AB.
a. Chứng minh:

b. Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng
có giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (5đ)
Cho hình thang vuông ABCD (
), O là trung điểm của AD và góc BOC=90o . Gọi E là giao điểm của BO và CD.
Chứng minh tam giác BCE cân tại C
Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD
Cho tam giác ABC với hai phân giác BD và CE. Gọi M là một điểm
trên đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng khoảng cách đến BC bằng
tổng khoảng cách từ M đến AB và AC.


GVBM : Xuân Hà


ĐÁP ÁN

1a. ĐKXĐ:

Rút gon biểu thức


1b. Biến đổi
ĐKXĐ

 Suy ra GTNN của P là -9/4 khi x=1/4

1c. Khi



2a. Ta có : y+y3= x(1-x2)>0 ; (vì x;y>0)
Suy ra 0 Mà x3+y3= x-y>0 (vì x;y>0)
Suy ra 0
Áp dung bất đẳng thức Bunhiakopsky ta có:
(Vì




2b. Do :

(1)



 Và a + b + c = abc
Từ (1) và (2)


 2c . ĐKXĐ :





Ta có

Dấu “=” xẩy ra khi



Kết hợp vơi ĐKXĐ



3 . Sử dụng bất đẳng thức Cô si
Ta có:
(1)

Tương tự:
(1) và
(3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra:


Mặt khác
hay


Do đó:
=


Vậy
. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1

 4a .



MPA đồng dạng
MAQ (g.g), suy ra MA2 = MP.MQ (1)


MAO vuông tại A, có đường cao AH nên MA2 = MH.MO (2)

Từ (1) và (2) suy ra MP.MQ = MH.MO hay
(*)


MPH và
MOQ có góc M chung kết hợp với (*) ta suy ra
MPH đồng dạng
MOQ (c.g.c) suy ra


Do đó tứ giác PQOH là tứ giác nội tiếp

=
(đpcm)




Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EB = EF hay
EBF cân tại E, suy ra
. Đặt
khi đó
nên F di chuyển trên cung chứa góc
dựng trên BC.

4b . Ta có:

. Như vậy
nhỏ nhất khi EA + EB lớn nhất hay EA + EF lớn nhất
AF lớn nhất (**)

Gọi O’ là điểm chính giữa của cung lớn AB, suy ra
O’AB cân tại O’ suy ra O’A=O’B (3)


O’EB và
O’EF có EB = EF, O’E chung và
(cùng bù với


O’EB =
O’EF (c.g.c) suy ra O’B = O’F (4)

Từ (3) và (4) suy ra O’ là tâm cung chứa góc
dựng trên đoạn thẳng BC. (cung đó và cung lớn AB cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB)

Do đó AF lớn nhất