đề thi chọn HSG cấp trường

PHÒNG GD& ĐT VÕ NHAI
TRƯỜNG THCS TRÀNG XÁ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề



Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức

Với

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x3 + y3
b) Xác định a để các đường thẳng sau đây đồng quy
2x – y + 3 = 0; x + y + 3 = 0; ax - y - 1 = 0
Bài 3: (4,0 điểm): Giải các hệ phương trình sau.
a)
b) 2(x2- 2x) +


3(x2 – 2x) - 2

Bài 4.(6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD
a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC
b) Tính độ dài phân giác AD?
Bài 5: (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau:




----- Hết -----

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013-2014
MÔN TOÁN LỚP 9

Bài 1 (4 điểm)

a) Rút gọn biểu thức (3 điểm)



















0.5


0.75


0.75


0.5


0.5

b) Tính giá trị của A khi
(1 điểm).
Tính





0.5

0.5



Bài 2 (4 điểm)

a) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( vì x + y = 1)
M =

Suy ra M

Mặt khác : x + y =1
x2 + y2 +2xy = 1
2(x2 + y2) – (x – y )2 = 1

2(x2 + y2)
1
Do đó : x2 + y2

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x = y =

Ta có M
và x2 + y2

M

Vậy M
, nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng
khi x = y =


0.5

0.5

0.5

0.5





0.5


b) Phương trình 2x – y +3 = 0 => y = 2x +3; và PT x +y + 3 = 0 => y = -x – 3
Giao điểm của hai đường thẳng này có hoành độ là nghiệm của PT: 2x + 3= -x-3
=> x = -2; y = -1.Giao điểm của hai đường thẳng này là M(-2;-1). Để ba đường thẳng đồng quy thì tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình đường thẳng thứ ba tức là: a(-2) +1-1 = 0 => a= 0
0,5

0.5

0.5

Bài 3 (4điểm) Giải hệ phương trình

a)
Đặt:




a + b = 3 Giải hệ này ta được a = 1, b =2
=> 2a – 3b = -4
=>
( x-2 =1( x =3;
Và
( y- 3 =4 ( y =7


0.5


0.1

0.5



b) 2(x2- 2x) +
Đặt x2 -2x = a;

3(x2 – 2x) - 2

2a + b = 0 Giải hệ này ta được a = -1; b = 2
3a – 2b = -7
=> x2 – 2x = -1 ( x2 -2x + 1= 0 ( ( x-1)2 = 0 ( x=1
Và
( y +1 =4 ( y =3


0.5



1


0.5

Bài 4 (6 điểm)

 Vẽ đường tròn tâm O