Đề thi chọn HSG

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY 18 – 3 – 2018
Đề chính thức Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 18/3/2018




Bài 1 (4,0 điểm)
Chứng minh n6 – 2n4 + n2 chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương.
Cho ba số phân biệt a, b, c. Đặt :
x = (a + b + c)2 – 9ab, y = (a + b + c)2 – 9bc, z = (a + b + c)2 – 9ac.
Chứng minh rằng: Trong ba số x, y, z có ít nhất một số dương.

Bài 2 (5,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
(x – y)(2x + y + 1) + 9(y – 1) = 13
2. Giải phương trình:


Bài 3 (4,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 + c2
2(ab + bc + ca) và p, q, r là ba số thỏa mãn : p + q + r = 0.
Chứng minh rằng : apq + bqr + crp
0.
Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
M =

Bài 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H.
Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH;
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường tròn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ tại K. Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M và cắt đoạn thẳng BC tại P. Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại Q.
Chứng minh tứ giác AQDP là tứ giác nội tiếp.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí các điểm D, E sao cho:
DE có độ dài nhỏ nhất.
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.






Quy Nhơn, 31 – 03 – 2018
Người gửi: Bùi Văn Chi
Email: [email protected]


GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 9 THCS – TỈNH BÌNH ĐỊNH
NĂM HỌC 2017 – 2018
Bài 1 (4,0 điểm)
1) Chứng minh n6 – 2n4 + n2 chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương
Biến đổi:
n6 – 2n4 + n2 = n2(n4 – 2n2 + 1) = n2(n2 – 1)2 = n2(n – 1)2(n + 1)2 = [n(n – 1)(n + 1)]2
Với n nguyên thì n(n – 1)(n + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và cho 3, do đó tích chia hết cho 6. Suy ra [n(n – 1)(n + 1)]2 chia hết cho 36.
Vậy n6 – 2n4 + n2 chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương.
2) Chứng minh ít nhất một trong ba số x, y, z dương
Xét tổng:
x + y + z = (a + b + c)2 – 9ab + (a + b + c)2 – 9bc + (a + b + c)2 – 9ac
= 3(a + b + c)2 – 9(ab + bc + ca) =
= =
=
= =
(vì a
b
c)
x + y + z > 0 (1).
Do đó ít nhất một trong ba số x, y, z dương.
Thật vậy nếu cả ba số x, y, z đều nhỏ hơn hoặc bằng 0 thì tổng x + y + z
0: Trái với (1).

Bài 2 (5,0 điểm)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x – y)(2x + y + 1) + 9(y – 1) = 13 (1)
Biến đổi:
(1)
2x2 + xy + x – 2xy – y2 – y + 9y – 9 = 13
2x2 + (1 – y)x – (y2 – 8y + 22) = 0 (2)
Xem (2) là phương trình bậc hai theo ẩn x (y là tham số)
Ta có:
= (1 –