Đề thi chọn HSG

Bài 4: (6 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P( AB), vẽ MQ vuông góc với AE ( Q( AE)
1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật.
2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng
3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh (EAO đồng dạng với ( MPB suy ra K là trung điểm của MP
4. Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất.











Vì AE là tiếp tuyến của đường tròn(0) tại A ( AE( AO
( (OEA vuông ở A (O,E,A ( đường tròn đường kính OE(1)
Vì ME là tiếp tuyến của đường tròn(0) tại M ( ME(MO
((MOE vuông ở M(M,O,E ( đường tròn đường kính OE(2)
(1),(2)( A,M,O,E cùng thuộc môt đường tròn
*Tứ giác APMQ có 3 góc vuông :


=> Tứ giác APMQ là hình chữ nhật
b) Ta có : I là giao điểm của 2 đường chéo AM và PQ của hình chữ nhật APMQ nên I là trung điểm của AM.
Mà E là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại M và
tại A nên theo định lý ta có : O, I, E thẳng
hàng.
c) hai tam giác AEO và PMB đồng
dạng vì chúng là 2 tam giác vuông có 1 góc
bằng nhau là
, vì OE // BM
=>
(3)
Mặt khác, vì KP//AE, nên ta có tỉ số
(4)
Từ (3) và (4) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB,
mà AB = 2.OA => MP = 2.KP
Vậy K là trung điểm của MP.
d) Ta dễ dàng chứng minh được :
abcd
(*)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d
MP =

Ta có: S = SAPMQ =

S đạt max (
đạt max ( x.x.x(2R – x) đạt max
(
đạt max
Áp dụng (*) với a = b = c =

Ta có :

Do đó S đạt max (
(
.
Vậy khi MP=
thì hình chũ nhật APMQ có diện tích lớn nhất

Bài 4. (6 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB tại I.
Chứng minh tích OI.OM không đổi.
Tìm vị trí của M để
MAB đều.
Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua điểm cố định.



Vẽ hình đúng đến câu a
a) Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O,R)

OB
MB
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
MA = MB và MO là tia phân giác của góc AMB


AMB cân tại M có OM là đường phân giác đồng thời là đường cao

OM
AB


OMB vuông tại B có OI là đường cao

OB2 = OI.OM

OI.OM = R2 không đổi.

b)
AMB cân tại M (CMT)
Để
AMB đều thì góc AMB = 600
góc BMO = 300


OBM vuông tại B có OB = 0,5 OM

OM = 2.OB = 2R
Kết luận
Kẻ OH
d, H
d
H cố định, OH cắt AB tại K.
Chứng minh
và
đồng dạng

.....
OH.OK = OI. OM = R2 không đổi
Mà O, H cố định nên OH không đổi
OK không đổi, K
OH cố định

K cố định
Kết luận
Bài 4: (6,0 đ)
Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R, tâm O cố định. Điểm A di động trên nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H lên AC