Đề thi chọn HSG

BỘ 50 ĐỀ THI TOÁN GỌI: 0853351198

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 - VÒNG 2
HUYỆN ………….. NĂM HỌC: 2017 - 2018
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút


Câu 1: (6,0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.
Cho các số thực x, y thoả mãn: x > 8y > 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


Câu 2: (7,5 điểm)
a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn:
> 0 và ab + bc + ca > 0. chứng minh cả ba số trên đều cùng âm hoặc đều cùng dương.
b) Giải hệ phương trình:



Giải phương trình:


Câu 3: (5,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Qua A và B theo thứ tự đó vẽ các đường thẳng d và d` song song với nhau. Tiếp tuyến tại M (M khác A và B) của đường tròn cắt d và d` theo thứ tự ở E và F.
a) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EF.
b) Nếu đường thẳng d vuông góc với AB, gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua AB, gọi I là giao điểm của AF và BE. Chứng minh ba điểm M, I, N thẳng hàng.


Câu 4: (1,5 điểm)
Cho tam giác đều ABC, cạnh có độ dài là 1. Đánh dấu 5 điểm bất kỳ trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: ắt tồn tại ít nhất là 2 điểm trong số đó mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 0,5.


(Giám thi coi thi không giải thích gì thêm)

Số báo danh..........................Họ và tên........................................................................................
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 9 - VÒNG 2
KỲ THI HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2017 - 2018

Câu
Ý

Nội dung

Điểm







Câu 1

5,0 điểm
a
3,0đ
+) Ta có:
.

+) Tìm số chính phương lẻ trong khoảng này ta được 2n + 1 bằng 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84.
+) Tương ứng Suy ra 3n + 1 bằng: 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương. Vậy n = 40

1,0 đ

1,0 đ

1,0 đ


b
3,0đ
+) Từ x > 8y > 0 suy ra: x - 8y; 8y và
là các số dương.
+) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

(

Dấu “ = ” xảy ra khi: x - 8y= 8y =
(

(
. Vậy Min P = 6 khi x = 4, y =


1,0 đ


1,0 đ







1,0 đ






Câu 2

6,0 điểm
a
2,5 đ
+) Từ
> 0 nên: abc (a + b + c) > 0
+) TH1: Nếu abc > 0 suy ra (a + b + c) > 0
mà ab + bc + ca > 0 nên ba số a, b, c đều dương.
- Thật vậy nếu giả sử a < 0 , bc < 0 suy ra ab + ac > 0 suy ra
b + c < 0 suy ra a + b + c < 0 mâu thuẫn.
+) TH2: Tương tự có ba số a, b, c đều âm.

0,5 đ



1,0 đ
1,0 đ


b
2,5 đ
+) ĐK: x
0, y
0
+) x = 0, y = 0 không phải là nghiệm của PT.
+ Từ hệ PT ta có: (
-
) + 3 (
) = 0


= 0
+ Từ đó : x = y.
+ Tìm được nghiệm của hệ : (1 ; 1)
0,5 đ
0,5 đ


0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ


c
2,5 đ
+) Giải phương trình
(1)
+) ĐK: x


+) (1)


Đặt x + 2 = a;

Ta có: a2