Đề thi chọn HSG

Phònggiáodục TP BuônmathuộtKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG (Vòng 2)
Trường THCS Phan Chu Trinh MÔN TOÁN 9 – Nămhọc 2011 – 2012
Thờigian 90 phút (Khôngkểthờigiangiaođề)
Bài 1 : 1) Tìmhaisốnguyêndương a, b biết a + b = 128 và ƯCLN(a, b) = 16.
2).Cho biểuthức A =

Chứng minh rằng0 < A < 2
Bài 2: 1) Tìm GTNN (nếucó) củabiểuthứcsau:

2)Tìm x, y thoảmãn:

Bài 3: Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì :


Bài 4: Cho tam giác ABC vuôngtại A, có AB < AC. Vẽđườngtròntâm O đườngkính AC cắt BC tại D. Lấy H và K lầnlượtlàtrungđiểmcủa AD và DC. Tia OH cắt AB tại E, tia OK cắttia ED tại F , OF cắt (O) tại T, OB giaovới AD tại N. Vẽ NP vuônggócvới AC, P thuộc AC và NP cắt OH tại Q.
Chứng minh: ED làtiếptuyến (O).
Chứng minh: DT làphângiáccủagóc FDC
Chứng minh: A, Q, F thẳnghàng.
Chứng minh: AD . AN = AB . PN



Phònggiáodục TP BuônmathuộtKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG (Vòng 2)
Trường THCS Phan Chu Trinh MÔN TOÁN 9 – Nămhọc 2011 – 2012
ĐÁP ÁN
Bài 1

(2đ)
Giảsử a ≤ b.
Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n.
Vìvậy : a + b = 128 tươngđương 16(m + n) = 128 tươngđương m + n = 8 Tươngđươngvới m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 .
Suy ra a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80
Nếu a > b thìm > n , m = 7 và n = 1 hoặc m = 5 và n = 3.
Suy ra a = 80 , b = 48hoặc a = 112 và b = 16
Vậy (a , b)
{(16 ; 112), (48 ; 80),(112 ; 16).(80 ; 48)}


0,5 đ

0,5 đ


0,5đ



0,5đ


(3đ)
2) VớiTa có:


=

+ với
ta luôncó A > 0
+ Lạicó:
hay A < 2
Vậy 0 < A < 2

0,25đ




0,75đ



0,75đ


0,5đ


0,5đ

0,25đ

Bài 2
(2đ)
1)




Vậy, Pmin=8 khi



1đ

1đ



(2đ)





ĐK: x > 1 , y > 4






(TMĐK)
Vậy (x=2, y=8)



1đ

1đ

Bài 3
(2,5đ)
















_____

Bài 4
(8,5đ)
1đ

2đ







3đ
Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z
Với a, b , c > 0 => x , y, z > 0
→ a + b + c =

→ a =
, b =
, c =

Khiđó : ()
VT :
=

=

Vậy:


Hschứng minh OD
ED tại D, D thuộc (O) => ED làtiếptuyến (O)
c/m
DOT cântại O
mà

Ta suyra :
=> DT làphângiácgóc FDK hay DT làphângiácgóc FDC

C/m Q làtrựctâm
ONA => AQ
ON tại M
C/m OA2 = OM . OB
OD2 = OK . OF
Mà OA = OD
Suyra: OM . OB = OK . OF
C/m
OBK đồngdạng
OFM (c-g-c)
Góc OMF vuông => FM
ON tại M
Mà AQ
ON tại M
Suyra A, M , F thẳnghàng => A . Q , F thẳnghàng



0,5đ




0,5đ

1đ

0,5đ
_______
0,5đ
1đ
0,5đ

0,5đ
1đ

0,5đ


1đ

1đ
0,5đ



















0,5đ