Đề thi chọn HSG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
Câu 1. (3đ)a.Cho a =
3+2
2 3
5
2−7 +
3−2
2
3
5
2+7. Tính giá trị của biểu thức M =1+a+a2+…..+a2019.
b.Giải phương trình:
𝑥+2
6−𝑥 = 4.
Câu 2: (4đ)
a.Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x,y sao cho:
𝑥
2+2018
𝑦
2

b.Chứng minh rằng ∀𝑛∈𝑁, ta có bất đẳng thức sau:
3
𝑛≥1+2𝑛.
Câu 3: (3đ)
1. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác. Chứng minh rằng:
1
𝑝−𝑎+
1
𝑝−𝑏
1
𝑝−𝑐
18
𝑎+𝑏+𝑐.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
𝑥
2
𝑦
2+𝑥𝑦+𝑥+𝑦.

Câu 4: (4đ) Cho ∆𝐴𝐵𝐶 nhọn nội tiếp (O), H là trực tâm của ∆ABC, gọi A’ là điểm đối xứng với A qua O, M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB.
a.Chứng minh rằng H,M,A’ thẳng hàng.
b.Gọi S là giao điểm của hai tiếp tuyến tại B và C của (O), AS cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai L. Chứng minh rằng AB.CL=AC.BL.
c.Giả sử AB=4, AC=6 và giao điểm F của hai tiếp tuyến tại N và P của đường tròn ngoại tiếp ∆𝐴𝑁𝑃 nằm trên BC, tính độ dài đoạn thẳng BC.

Câu 5:(3đ)Cho đa thức P(x) thỏa mãn: P(x−1
𝑥
2−2𝑥+2.Giả sử a,b,c là các số thực sao cho sina+sinb+sinc
3
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của M= P(tana)+P(tanb)+P(tanc).

Câu 6: (3đ) Cho một bảng ô vuông có kích thước m.n (gồm m hàng và n cột), một bảng ô vuông được gọi là “tốt” nếu tồn tại một ô vuông của bảng sao cho tâm của ô vuông đó là tâm đối xứng của bảng, và ô vuông đó được gọi là ô “tốt”.
a.Giả sử m
2018
2019
và n=
2019
2018.Hỏi rằng bảng trên có phải là bảng “tốt” không?
b.Cho trước một bảng có kích thước 7.7. Hai bạn A và B chơi một trò chơi như sau: Lúc đầu mỗi bạn đặt lên bảng một quân cờ sao cho hai quân cờ được đặt vào hai đỉnh đối diện của bảng. Trog mỗi lượt chơi hai bạn đồng thời di chuyển quân cờ của mình sang ô bên cạnh, trò chơi chỉ kết thúc khi hai quân cờ đồng thời được đặt vào ô “tốt”. Hỏi rằng với bảng có kích thứơc như trên thì trò chơi có kết thúc được không? Nếu có, gọi A là số cách chơi để trò chơi kết thúc nhanh nhất.Tìm giá trị của A.
Hết









ĐÁP ÁN
Câu 1:
Ta có: a =
3+2
2 3
5
2−7 +
3−2
2
3
5
2+7
2+1
2−1
2−1
2+1 = 6 , suy ra M=1+62+63+…+62019 =>6M=6+63+…+62020, suy ra 5M=62020−1 => M=
6
2020−1
5.

𝑥+2
6−𝑥 = 4. ĐK: −2≤𝑥≤6
=>8 + 2
𝑥
2+4𝑥+12 = 16

𝑥
2+4𝑥+12 =4
𝑥
2+4𝑥−4=0(x=4 (thỏa mãn). Vậy S= {4}.
Câu 2:
Giả sử tồn tại các số nguyên x,y sao cho
𝑥
2+2018
𝑦
2, khi đó 2018𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦do 𝑥−𝑦 và 𝑥+𝑦 cùng tính chẵn lẻ mà 2018 là số chẵn nên 𝑥−𝑦 và 𝑥+𝑦 cùng chẵn, suy ra (𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)⋮4 =>2018⋮4 (vô lý). Vậy điều giả sử là sai =>đpcm.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng
3
𝑛≥