Đề thi chọn HSG

SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút


PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1. Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A
1
2;4)và B(2; 7).
Tính M =
3
13𝑎+5𝑏
𝑏−
3
13𝑎−5𝑏
𝑏

Câu 2. Dãy số
𝑎
𝑛 thõa mãn an+1 = an + 3, với ∀n
𝑁 và a2 + a19 = 25.
Tính tổng S = a1 + a2 + … + a20
Câu 3. Cho hai số thực a, b thõa mãn
𝑎
3−
𝑎
2+2𝑎−7=0
𝑏
3+2
𝑏
2+3𝑏−5= 0 Tính a – b
Câu 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2)và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất
Câu 5. Cho số thực a > 0. Timg GTLN của P =
𝑎
4+
𝑎
3+3
𝑎
2+𝑎+1
𝑎
3+𝑎

Câu 6. Cho các số thực a, b, c khác -1 và các số x, y, z khác 0 thỏa mãn
𝑥=𝑏𝑦+𝑐𝑧
𝑦=𝑐𝑧+𝑎𝑥
𝑧=𝑎𝑥+𝑏𝑦

Tính tổng T =
1
1+𝑎
1
1+𝑏
1
1+𝑐

Câu 7. Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 3, P(2) = 6, P(3) = 11
Tính Q = 4P(4) + P(-1)
Câu 8. Tìm các số thực a biết a +
15 và
1
𝑎-
15 đều là các số nguyên.
Câu 9. Cho góc nhọn ∝ có tan∝ = 2. Tính M
𝑠𝑖𝑛
2∝ +3𝑠𝑖𝑛∝𝑐𝑜𝑠∝
𝑐𝑜𝑠
2
𝑠𝑖𝑛∝𝑐𝑜𝑠∝ +
𝑐𝑜𝑠
2∝ +1

Câu 10. Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD, tia phân giác góc A cắt BD tại I. Biết IB = 10
5, ID = 5
5. Tính diện tích tam giác ABC.
II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giây thi)
Câu 11. Giải phương trình
3
24+𝑥
12−𝑥=6
Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.
Khi AB = 12cm, tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC bằng
2
5. Tính diện tích tam giác ABC.
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
Chứng minh rằng 𝐵𝐸
𝐶𝐻+𝐶𝐹
𝐵𝐻=𝐴𝐻
𝐵𝐶

Câu 13. Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe Honda Future với chi phí mua vào là 23 triệu đồng và bán ra 27 triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khác sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng, theo tỉ lệ cứ giảm 100 nghìn đồng mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm tăng thêm 20 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá mới là bao nhiêu để sau khi giảm giá, lợi nhuận thu được là cao nhất.