Đề thi chọn HSG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGỌC LẶC

KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2018-2019
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: ……/02/2019
(Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)


Câu I (4,0 điểm)
Cho biểu thức :

1. Rút gọn A
2. Tìm x để:

Câu II (4,0 điểm)
1. Tìm m để phương trình :
có bốn nghiệm phân biệt
thỏa mãn :

2. Giải hệ phương trình :

Câu III (4,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn :
.
2. Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn :
. Chứng minh rằng:

chia hết cho 84.
Câu IV (6,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao BD, trực tâm H. Đường tròn đường kính AC cắt đường cao BD tại E. Gọi F là điểm nằm giữa A và D. Đường thẳng qua E và vuông góc với EF cắt AC tại M. Đường tròn (M; ME) cắt FH tại K, đường tròn (A; AE) cắt CH tại L.
1. Chứng minh tứ giác ABLD nội tiếp.
2. Chứng minh tam giác MDB đồng dạng với tam giác HDF .
3. Gọi N là giao điểm của AL và MK. Chứng minh tam giác KNL cân.
Câu V (2,0 điểm)
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn
và
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

--------------------- Hết---------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh………………………………Số báo danh…………………………

HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán học



Câu
Nội dung
Điểm

I.1
Rút gọn biểu thức A
2,0










0,25




0,25




0,25




0,25




0,25




0,25




0,25


Vậy :


0,25

I.2
Tìm x để


2,0




0,25




0,25




0,5




0,25




0,25



( do kết hợp với
)
0,25


Vậy để
thì
hoặc

0,25





II.1
1. Tìm m để phương trình :
có bốn nghiệm phân biệt
thỏa mãn :

2,0


- Phương trình đã cho tương đương với :


0,25


- Đặt
, khi đó phương trình (1) trở thành :


0,25


Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
.


0,25




0,25


- Khi
là hai nghiệm dương phân biệt của phương trình (2) thì bốn nghiệm
của phương trình đã cho được tìm ra từ hai phương trình


0,25


- Giả sử
là nghiệm của phương trình (4) và
là nghiệm của phương trình (5). Áp dụng định lí Viet cho các phương trình (4), (5),ta có


0,25


- Khi đó


0,25




(Thỏa mãn (3))
Vậy m = 1
0,25

II.2
Giải hệ phương trình :

2,0


-Điều kiện :

Từ hệ (I) suy ra :

0,25




0,25


- Nếu x = y, thay vào (1) ta được :


0,25




0,25





0,25




Suy ra :
là một nghiệm của hệ.
0,25


- Nếu xy = 1, thay vào (1) ta được :


0,25


- Với
, ta được
; Với
, ta được

Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm (x; y) là :


0,25

III.1
1. Tìm các số nguyên