Đề thi chọn HSG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Số báo danh
....................
KỲ THI GIAO LƯU ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2018-2019

Môn thi: Toán học. Lớp 9.THCS
Ngày thi: 22 /02/2019
Thời gian thi: 150 phút (không kể thời gian giao đề thi)
Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang.



Câu 1 (4,0 điểm).
a) Cho biểu thức P =

Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
b) Tính giá trị của biểu thức :
B = (x2016 + x2017 – x2018)2019 với x =

Câu 2 (4,0 điểm).
a) Cho phương trình
với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn

b) Giải hệ phương trình
.
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:
.
b) Cho p, q là hai số nguyên tố sao cho p > q > 3 và p – q = 2.
Chứng minh rằng
.
Câu 4 (6,0 điểm).
Gọi BC là dây cung cố định có độ dài
của đường tròn tâm I, bán kính R và A là điểm thay đổi trên đường tròn đó sao cho góc BAC nhọn. Gọi M là điểm đối xứng với B qua AC ; N là điểm đối xứng với C qua AB, H là giao điểm của BM với CN. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABM và ACN cắt nhau tại P ( P khác A).
Tính góc BAC và chứng minh năm điểm B, H, I , C, P cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng và hai tam giác ABH, APC đồng dạng.
Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác BCP lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
Câu 5 (2,0 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + 2b + 3c = 1.
Chứng minh rằng:


----------------------Hết------------------------

Họ và tên thi sinh………………………………………….. Số báo danh…………...
Chữ ký của giám thị 1……………….....…… Chữ ký của giám thị 2…..................…



HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN THI: TOÁN – Lớp 9

(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)


Câu
Nội dung
Điểm

Câu 1a (3,0đ)
ĐKXĐ:

P =
.

P =
.

P =
.

P =
.












0.75


P =
.

P =
.


P






0.75


P = (
- 2) + 2 +
=
+

Để P có giá trị nguyên thì
và
Ư(1)

0.75


Từ
Ư(1) suy ra



Giá trị x =
không thỏa mãn . Vậy với x = 3 thì P có giá trị nguyên.



0.75

Câu 1b
(1,0đ)
Ta có x =
.
0.5


Do đó : B = (x2016 + x2017 – x2018)2019 = -1
0.5

Câu 2a
(2,0đ)
Ta có:
với mọi m.
Vậy pt đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Theo hệ thức Vi-ét ta có :





0.5


Từ















0.5




Nếu x1 = x2 thì từ (*) suy ra x1 = x2 = 0
Nếu x1 = -x2 thì x1 + x2 = 0


0.5


Do vậy x1 + x2 = 0

Vậy m = 2018 thỏa mãn đề bài.
0.5

Câu 2b (2,0đ)
Hpt

Thay (1) vào (2) ta được:


(3)



0.5


Xét x = 0, hpt đã cho trở thành
, hệ này vô nghiệm
Xét x
0, chia cả hai vế của pt (3) cho x3 và đặt t =
ta được :
5t3 – 2t2 – 2t – 1 = 0



0.5



(vì 5t2 + 3t + 1 > 0)
Do đó y = x, khi đó ta có hệ phương trình