Đề thi chọn HSG

PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO TÂY SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
TRƯỜNG THCS VÕ XÁN NĂM HỌC: 2018 - 2019
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)




Bài 1 (3,0 điểm) Với n chẵn (n
N)
Chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1) chia hết cho 323
Bài 2 (5,0 điểm) Cho biểu thức:
( với a > 0, a ( 1).
a) Chứng minh rằng

b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức
nhận giá trị nguyên?

Bài 3 (5,0 điểm)
a) Cho x, y là các số dương thỏa mãn
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b) Giải phương trình :


Bài 4 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có
. Chứng minh
là số vô tỉ .

Bài 5 (5,0 điểm)
Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F.
a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tích AM(AN không đổi.
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.


..................................................... Hết................................................

Chú ý : Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh :………………………….
Số báo danh : …………………………
Chữ kí giám thị 1:……………………….
Chữ kí giám thị 2:……………………….


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
TOÁN 9 - NĂM HỌC: 2018 - 2019
Bài
Câu
Nội dung cần đạt
Điểm

1

*Ta có: (20n + 16n – 3n – 1) = (20n– 1) + (16n – 3n )
0,25
3,0



 Vì: (20n– 1)
19
0,25




 Và: (16n – 3n )
19 ( Vì n chẵn)
0,25




 Do đó: (20n + 16n – 3n – 1)
19 (1)
0,25




*Ta cũng có: (20n + 16n – 3n – 1) = (20n– 3n ) + (16n – 1)
0,25




 Vì: (20n– 3n )
17
0,25




 Và: (16n – 1)
17 ( Vì n chẵn)
0,25




Do đó: (20n + 16n – 3n – 1)
17 (2)
0,25




Mặt khác: (17;19) = 1 (3)
0,5




Từ (1); (2);(3) suy ra (20n + 16n – 3n – 1)
323
0,5


2
a
Do a > 0, a ( 1 nên:


0,5
3,0



Và:

0,5





 (

0,5





Do
nên:

1,0




 (

0,5



b
Ta có
do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
0,5
2,0



Mà N = 1 (
(
(

0,5




 (
(thõa mãn)
0,5




Vậy, N nguyên (

0,5


3
a
 Ta có:






0,5

3,0



 Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được:





0,5


0,5




 Vì
nên

0,5




 Dấu "=" xảy ra khi
(Vì: x;y>0)



0,5




 Vậy : MinA=
khi