Đề thi chọn HSG

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: (3,5đ)
a. Giải phương trình sau:
2𝑥+1
7−2𝑥=4.
b.Chứng minh rằng
2
4𝑥+5
𝑥
3−5𝑥+14 chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên x.
Câu 2: (3,5đ)
a.Cho ∆𝐴𝐵𝐶 có ba đường cao AA1, BB1,CC1 đồng quy tại H. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P =
𝐴𝐻
𝐴
𝐴
1
𝐵𝐻
𝐵
𝐵
1
𝐶𝐻
𝐶
𝐶
1

b.Cho ∆𝐴𝐵𝐶 vuông tại có BC= a. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC theo a. Tìm điều kiện của a để diện tích lớn nhất của ∆𝐴𝐵𝐶 là một số chính phương (một số được gọi là số chính phương nếu nó là bình phương của một số nguyên)
Câu 3: (3đ) Cho hai đường tròn (O1;R1) và (O2;R2) tiếp xúc ngoài với nhau, gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn.Biết rằng R1>R2 và MN =2R1
2. Tính tỉ số diện tích của hai hình tròn (O1) và (O2).
Câu 4: (3,5đ)
a.Cho đa thức P(x) =
𝑎+2
𝑥
3+𝑏
𝑥
2
𝑏−1
𝑥+𝑏+8. Biết rằng P(0)=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của P(a).
b.Cho các số thực x,y thỏa mãn x,y≥−1 và
𝑥
2
𝑦
2=2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F
1+𝑥
1+𝑦

Câu 5: (3,5đ) Cho biểu thức: A=
1
2−1+1
1
2+1+1
2
2−2+1
2
2−2+1
𝑛
2−𝑛+1
𝑛
2−𝑛+1 (𝑛
𝑁)
a.Rút gọn biểu thức A.
b. Chứng minh rằng
1+𝑛𝐴
𝐴 là số chính phương với mọi 𝑛
𝑁

Câu 6: (3đ)
Cho 3 số nguyên dương đôi một khác nhau. Hai bạn A và B chơi một trò chơi như sau:
i)Mỗi lượt chơi mỗi bạn sẽ viết ngẫu nhiên ít nhất 1 số trong 3 số trên sao cho có 4 số được viết ra.
ii)Không có lượt chơi nào mà hai bạn viết ra các bộ số hoàn toàn giống nhau.
iii)Không có 3 lượt chơi liên tiếp nào mà các số chung nhau là giống nhau.
a.Chứng minh rằng sau 3k lượt chơi (với k nguyên dương) thì tổng các số viết ra là bội của 4.
b.Chứng minh rằng nếu 3 số đã cho là 3 số lẻ thì không tồn tại số nguyên dương m sao cho tổng các số được viết ra là 4m
𝑚
2−𝑚+2)
Hết