Đề thi chọn HSG

PHÒNG GD-ĐT NINH HÒA
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC: 2009-2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức:
= cotg450
Bài 2: (4đ) Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức Q
Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 4: (3,75đ) Chứng minh rằng nếu

với

thì

Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ góc 450 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F.
Chứng minh rằng:

Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA























HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010
Bài
Nội dung – Yêu cầu
Điểm

1







= 1
= cotg450

1đ

0,5đ

0,75đ

0,25đ
0,5đ

2a
Q có nghĩa
và

0,5đ

2b








* Nếu 1 < x < 2 ta có:




* Nếu x > 2 ta có:









0,75đ







0,75đ

0,25đ

0,5đ

0,25đ

0,25đ

0,5đ

0,25


3
Với điều kiện
ta có:
M =

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,
Ta có:


(vì x dương)
Và:


(vì y dương)
Suy ra: M =

Vậy giá trị lớn nhất của M là

x = 2, y = 8
0,25đ




0,75đ


0,5đ

0,75đ

0,5đ


0,25đ


0,5đ


4













(vì
)



(vì
)





0,25đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ


0,5đ

5










Kẻ MP
AB tại P, MQ
AC tại Q
Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ tại K và cắt MF tại N
Do
EMF = 450 nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ


và
(
vì có cùng chiều cao nhưng đáy EN bé hơn đáy EK)
Suy ra:
(*)
Chứng minh được:




(**)
Từ (*) và (**) ta có:












0,25đ
0,25đ

0,5đ

0,5đ


0,5đ

0,5đ


0,5đ

0,5đ

0,25đ


6













Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC. Giao điểm của OA và PQ là I.
AB và AC là hai tiếp tuyến nên AB = AC và AO là tia phân giác của
BAC

PAQ cân ở A và AO
PQ
Áp dụng Pitago ta có:
MK2 = MO2 – R2 (
MKO vuông tại K)
MK2 = (MI2 + OI2) – R2 (
MOI vuông tại I)
MK2 = (MI2 + OI2) – (OP2 – PB2) (
BOP vuông tại B)
MK2 = (MI2 + OI2) – [(OI2 + PI2) – PA2] (
IOP vuông tại I và PA = PB)
MK2 = MI2 + OI2 – OI2 + (PA2 – PI2)
MK2 = MI2 + AI2 (
IAP vuông tại I)
MK2 = MA2 (
IAM vuông tại I)

MK