Đề thi chọn HSG

Trường THCS HỒ TÔNG THỐC
ĐỀ THI THỬ CỤM 1 TOÁN 9. GV: Phan Quốc Hòa

Câu 1 (4,0 điểm).
Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an.
Đặt S =
và
.
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
Cho A =
(với
n > 1).
Chứng minh A không phải là số chính phương.
Câu 2 (4,0 điểm).
a, Giải phương trình:

b) Cho (x+
)(y+
) = 3.
Tìm giá trị của biểu thức P = x + y
Câu 3 (4điểm)
a, Cho a, b, c > 0. Chứng minh:


b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 4: ( 6đ )
Cho ABC tại A. Đường phân giác trong AD, đặt BC = a, AC = b, AB = c, AD = d . Chứng minh rằng:
a) Chứng minh:
=
+



b,


c) Chứng minh:
+
+
> 6

Câu 5(2đ) Cho 100 số tự nhiên tuỳ ý. Chứng minh rằng tồn tại 10 số sao cho hiệu hai số bất kỳ đều chia hết cho 11

…………………………….Hết……………………………….





ĐÁP ÁN
Câu1:
Nội dung

1a
(2đ)
Với
thì
là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3. Mà (2.3)=1










 Vậy



1b
(2đ)




 với n > 1 thì
>



 và
<



 Vậy không là số chính phương
đpcm

Câu2.


 a, Giải phương trình
(1)
(2đ) Điều kiện:


 (1)










thỏa mãn điều kiện







b
()
2) Xét biểu thức (x+
)(y+
) = 3 (1)
Nhân 2 vế của (1) với (x-
)
0 ta được:
-3(y+
) = 3(x-
)
<=> -(y+
) = (x-
) (2)
Nhân 2 vế của (1) với (y-
)
0 ta được:
-3(x+
) = 3(y-
)
<=> -(x+
) = (y-
) (3)
Lấy (2) cộng với (3) ta được:
-(x+y) = x+y => x+y = 0
Vậy A = x+y = 0







Bài3
a
(2đ)
dễ dàng chứng minh

đpcm





b

(2đ)
Tìmgiá trị nhỏ nhất của

Ta có:







Dấu "=" xảy ra



Vậy
khi x = -2




Bài 4
()
a, ()




b,
()














C,
(1,)

Vẽ hình đúng
a) SΔABD =
cd; SΔACD =
bd; SΔABC =
bc


bd +
dc = 2bc


+
=
(chia 2 vế cho
dbc) (đpcm)
b, Vì AD là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM
AD và CN
AD
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có:
Sin MAB = Sin

=> BM = c.sin

SinNAC = sin
=
=> CN = b.sin

Do đó BM + CN = sin
(b+c)
Mặt khác ta có BM + CN
BD + CD = BC = a
=> sin
(b+c)
a, vì sin
< 1
Do b+c
2
nên

Hay sin


( đpcm)
c, Từ sin
(b+c)
a
Tương tự: ;
Cộng từng vế suy ra đpcm
0,25

1,5
0,25

0,25



0,5





0,5


0,5

0,5


0