Đề thi chọn HSG

UBND HUYỆN PHÚ LƯƠNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán



Thời gian làm bài: 150 phút(không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình:

b) Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố.
Bài 2 (1,0 điểm).
Tìm GTNN của / biết x, y, z > 0 , /.
Bài 3 (2,0 điểm).
a)Giải phương trình sau:


b) Giải hệ phương trình sau:


Bài 4 (4,0 điểm)
Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của
cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.
Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh
.
Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi
đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R?
Bài 5 (1.0 điểm).Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng:

.
---------------HẾT-----------------

Họ và tên thí sinh: ............................................. Số báo danh: ........................
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017

Bài 1 (2,0 điểm)
a) ĐK:
.


Giải phương trình (*) ta được:

Kết hợp với ĐK ta có
là nghiệm của phương trình.
b)
Ta có n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2
= ( n2 + 2)2 – ( 2n)
= ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2)
Vì n là số tự nhiên nên n2 + 2n+ 2 > 1 nênn2 – 2n + 2 = 1
n = 1
Bài 2 (1,0 điểm)
/. Theo bất đẳng thức Cauchy :
/
min A = //.
Bài 3 (2,0 điểm)
Điều kiện x ≥ 1
Đưa phương trình về dạng:

(Do
> 0)
Trường hợp 1:
. Khi đó phương trình (*) trở thành:
(thỏa mãn)
Trường hợp 2:
.
Khi đó phương trình (*) trở thành:
(luôn đúng)
Kết hợp cả 2 trường hợp ta được 1 ≤ x ≤ 2 là nghiệm của phương trình.
b)
Hệ
. Đặt
ta được


TH 1.

TH 2. Đổi vai trò của a và b ta được
. Vậy tập nghiệm của hệ là:
S =

Bài 4 (4,0 điểm)

I
F
M
H E
K
A O B
Ta có M, E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB nên
và
.
Vậy 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn đường kính FK
Ta có
cân tại A nên AH = AK (1)
K là trực tâm của
nên ta có
suy ra FK // AH (2)
Do đó
mà
(gt) cho nên

Suy ra AK = KF, kết hợp với (1) ta được AH = KF (3)
Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK. Mà
suy ra

Chu vi của
lớn nhất khi chỉ khi MA + MB lớn nhất (vì AB không đổi).
Áp dụng bất đẳng thức
dấu "=" xảy ra
, ta có

Nên MA + MB đạt giá trị lớn nhất bằng
khi và chỉ khi
MA = MB hay M nằm chính giữa cung AB.
Vậy khi M nằm chính giữa cung AB thì
đạt giá trị lớn nhất. Khi đó

Bài 5 (1,0 điểm)
Đặt
, ta có
là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên
chia hết cho 5.
Nhưng
không chia hết cho 5, do đó A chia hết cho 5.
Nếu
, ta có
chia hết cho 5 mà 11879 không chia hết cho 5 nên
không thỏa mãn, suy ra y = 0.
Khi đó , ta có






.
Vậy
là hai giá trị cần tìm.