Đề thi chọn HSG

Trường THCS Đề thi khảo sát đội tuyển Toán 9 Lần 2
Bản nguyên Thời gian làm bài 120 phút
Năm học: 2012 - 2013
Bài 1: (1.5 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau
a, A =

b, B =

c, C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α)
Bài 2: (1,5 điểm). Giải các phương trình
a.


Bài 3: ( 2 điểm)
Cho x là số thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức : B =

b) Tìm số tự nhiên n để
cũng là số tự nhiên
Bài 4: ( 1 điểm)
Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
Bài 5 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của HC; N là trung điểm của AC. AM cắt HN tại G. Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.
Từ đó hãy suy ra SAEF = SABC.
2

BH.KM = BA.KN


Bài 6: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ về cùng một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luôn vuông góc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo góc
. Xác định số đo
để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
****************************************

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9. MÔN: TOÁN
Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang
Bài
Ý
 Nội dung cần đạt
Điểm

1.
2.5
a
0.75


0.25x3


b
0.75


=
=
= 0. Suy ra A = 0
0.5
0.25


b.
1.0

=
=
=
=2
0.2x5


2.
2.0
 2a.
1.0
ĐK:


; Học sinh đối chiếu ĐK và kết luận nghiệm
0.25x4


2b.
1.0
ĐKXĐ:




và


0.25

0.25
0.25
0.25

Bai 4

Ta có:






Vậy: n = 452 – 24 = 2001




b) Đặt
và
; m+n>m-n
Xét 2 TH:
m+n=91; m-n=1 ta được n=45
m+n=13; m-n=7 ta được n=3 . Thử lại đúng
KL:



4.
2.5





0.25


4a
1.0

vuông tại E nên
;
vuông tại F nên

Tư đó chứng minh được tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c)
Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên



0.25

0.25

0.25
0.25


4b.
0.75

và
có
;
(Góc có cạnh tương ứng song song)
Suy ra
đồng dạng với
( g.g);

0.5

0.25


4c.
0.75


đồng dạng với
nên
( Vì MN là đường TB của tam giác AHC); Lại có:
;
( G là trọng tâm của tam giácAHC)

. Mặt khác
( so le trong)

đồng dạng với tam giác
(c.g.c)










0.25





0.25

5
1.0

Ta có : SMCD =
MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta có

MC =
, MD =
; SMCD =


Do a,b là hằng số nên SMCD nhỏ nhất ( 2sin(.cos( lớn nhất .
Theo bất đẳng thức 2xy ( x2 +y2 ta có :
2sin(.cos( ( sin2( +cos2( = 1 nên SMCD ≥ ab
SMCD = ab ( sin(