Đề thi chọn HSG

SỞ GIÁO VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013




ĐỀ CHÍNH THỨC


Môn: Toán

(Đề có 01 trang)
Thời gian làm bài: 150 phút



Bài 1: a) Tính giá trị biểu thức:
, biết


b) Giải phương trình:


Bài 2: a) Giải hệ phương trình:


b) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên


Bài 3: Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:


Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy M bất
kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu
vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của
N xuống đường thẳng PD.
Chứng minh AH vuông góc với BH
Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I.
Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng.
Bài 5: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


------------------Hết---------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..............................................................................................Số báo danh.......................



HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN 9 NĂM HỌC 2012-2013
Bài 1:
a) Ta có


(1). Tương tự:
(2)
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta được

Vậy M =

b) Ta có

Dể thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, do đó phương trình đã cho tương đương với

(với
)



* Nếu t = 2

* Nếu

vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1.
Bài 2:
a) Từ phương trình (1) ta suy ra:
thế vào phương trình (2) thu gọn ta được:


* Nếu
thế vào phương trình (1) ta được
phương trình này vô nghiệm.
* Nếu
, trừ vế theo vế của phương này với phương trình (1) ta được:


+ Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = 0 suy ra y = 0, cặp (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2).
+ Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = 0 suy ra x = 2, cặp (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2).
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (3;0), (2; 1).
b) Ta có
, vì a, b, c là các số tự nhiên do đó để P là số nguyên khi và chỉ khi
là số nguyên.
Do vai trò như nhau nên ta giả sử a

Nếu
, vì


trái với
. Suy ra

+ Nếu
thoả mãn bài ra
+ Nếu
thoả mãn bài ra
Vậy các số tự nhiên a, b, c phân biệt thoả mãn bài toán là (a, b, c) = (2, 3, 5) và các hoán vị.
Bài 3:
Từ giả thiết ta suy ra a > 0 ; b > 0 ; c > 0 và



(với
)


. Vậy tam giác ABC đều.
Bài 4: Từ bài ra ta có hình vẽ sau:


a) Theo giả thiết ta có tam giác ABC vuông cân tại A mà D là trung điểm của BC nên

và AD là tia phân giác của
. Do
nên suy ra tứ giác ANM P là hình vuông. Mặt khác tứ giác ANHP có
nên nội tiếp đường tròn đường kính NP suy ra
(cùng chắn cung AP).
Xét tứ giác BDHA có
(hai góc kề bù) suy ra tứ giác BDHA nội tiếp suy

b) Theo câu ta có 5 điểm A, P, H, M, N cùng nằm trên đường tròn đường kính AM và NP suy ra
suy ra 3 điểm B, H, M thẳng hàng