Đề thi chọn HSG

ĐỀ THI HSG TỈNH HÀ TĨNH LỚP 9

Bài 1: Cho phương trình
(*)
a) Giải phương trình khi m = 3
b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt
Bài 2: a) Cho a, b, c ( Z thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 chia hết cho 3
b) Giải phương trình x3 + ax2 + bx + 1 = 0, biết rằng a, b, c là số hữu tỉ và 1 +
là nghiệm của phương trình
Bài 3: Cho x, y ( N* thỏa mãn x + y = 2011.
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P =

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, một dây cung MN = R di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng song song ON cắt đường thẳng AB tại E. Qua N kẻ đường thẳng song song OM cắt đường thẳng AB tại F.
a) CMR: (MNE ( (NFM
b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để chu vi tam giác MKN lớn nhất
Bài 5: Cho a, b, c > 0 và abc = 1.
Chứng minh rằng


HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1Lời giải tóm tắt:
ĐKXĐ: x ( 0
Đặt
phương trình (*) trở thành

a) m = 3 (Tự giải)
b) Với t = 1 ( x2 – x – 1 = 0 phương trình này luôn có 1 nghiệm dương (vì ac < 0)
Để phương trình (*) có đúng 2 nghiệm dương phân biệt thì phương trình t2 + t + 4 – m = 0
phải có nghiệm kép khác 1. Hay m =

Bài 2 :Lời giải tóm tắt:
a) ĐK: a, b, c ( 0. Từ gt suy ra a + b + c = 0. Mà a3 + b3 + c3 – (a + b + c) = a(a – 1)(a + 1) + b(b – 1 )(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hết cho 3 và a + b + c = 0 chia hết cho 3 nên a3 + b3 + c3 chia hết cho 3
b) Vì 1 +
là nghiệm của phương trình nên ta có

vì a, b là số hữu tỉ nên

(
. Thay vào a,b vào pt rồi giải tiếp
Bài 3:Lời giải tóm tắt:
Cách 1: Vì x, y ( N* nên


Mà (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = 20112 – 4xy. Do đó –xy =

Vậy P = 20113 - 6031xy = 20113 + 6031

Ta có 20113 + 6031.
( P ( 20113 + 6031.

Hay 2035205401 ( P ( 8120605021.
Vậy GTNN của P là 2035205401. Dấu “=” xảy ra khi x = 1006 và y = 1005 hoặc x = 1005 và y = 1006. GTLN của P là 8120605021. Dấu “=” xảy ra khi x = 2010 và y = 1 hoặc x = 1 và y = 2010
Cách 2: P = 20113 - 6031xy theo bài ra ta có 1 ( x, y ( 2010
Ta chứng minh 2010 ( xy ( 1005. 1006. Thật vậy
xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x2 – 2010 = 2010x – x2 + x – 2010
= (2010 – x)(x – 1) ( 0 (vì 1 ( x, y ( 2010)
Ta có xy ( 2010. Do đó P ( 8120605021
Mặt khác 1005.1006 – xy = 1005. 1006 – x(2011 – x) = … = (1005 – x)(1006 – x) ( 0
Ta có 1005.1006 – xy ( 0 Do đó 2035205401 ( P
Bài 4:Lời giải tóm tắt:
a) Dễ dàng chứng minh được

Mặt khác (EMO ( (ONF (
(vì (MON đều)
b) (MNE ( (NFM

mà
không đổi
K thuộc cung tròn chứa góc 1200 dựng trên đoạn thẳng MN = R không đổi. Từ đó suy ra K là điểm giữa cung MKN hay MK = NK. Kéo dài EM và FN cắt nhau tại I và ta chứng minh được MN ở vị trí sao cho AM = MN = NB = R
Bài 5:Lời giải tóm tắt:
Áp dụng BĐT CauChy ta có


tương tự rồi cộng lại được

Mà
ruy ra đpcm
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1