Đề thi chọn HSG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)



Câu I (4,0 điểm).
1. Cho biểu thức
, với
Rút gọn
và tìm tất cả các giá trị của
sao cho giá trị của P là một số nguyên.

2. Tính giá trị của biểu thức
tại

Câu II (4,0 điểm).
1. Biết phương trình
có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm
để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng

2. Giải hệ phương trình

Câu III (4,0 điểm).
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình

2. Cho
là các số nguyên dương thỏa mãn
là số nguyên tố và
chia hết cho 8. Giả sử
là các số nguyên thỏa mãn
chia hết cho
. Chứng minh rằng cả hai số
chia hết cho
.

Câu IV (6,0 điểm).
Cho tam giác
có
theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh
của tam giác với các tâm tương ứng là
. Gọi
là tiếp điểm của
với
,
là điểm chính giữa cung
của
,
cắt
tại điểm
. Gọi
là giao điểm của
và

là điểm đối xứng với
qua

1. Chứng minh
là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

3. Chứng minh
.


Câu V (2,0 điểm).
Cho
là các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng




------------- HẾT --------------