Đề thi chọn HSG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
BÌNH ĐỊNH KHOÁ NGÀY 18 – 3 – 2018

Đề chính thức Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 18/3/2018

Bài 1. (4,0 điểm)
Chứng minh
chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương.
Cho ba số phân biệt a, b, c. Đặt:
x =
, y =
, z =

Chứng minh rằng: trong ba số x, y, z có ít nhất một số dương.
Bài 2. (5,0 điểm)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:


2. Giải phương trình:



Bài 3 (4,0 điểm)
1. Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn điều kiện
và p, q, r
là ba số thỏa mãn p + q + r = 0.
Chứng minh rằng: apq + bqr + crp
0.
2. Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a.b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M =

Bài 4 (7,0 điểm).
1. Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H.
a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường tròn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ tại K. Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M và cắt đoạn thẳng BC tại P. Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại Q. Chứng minh tứ giác AQDP nội tiếp.

2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí của điểm D và E sao cho:
a) DE có độ dài nhỏ nhất
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.








LỜI GIẢI THAM KHẢO
Bài 1:
1. Ta có

Lại có:
(vì n
) mà (2 ; 3) = 1 nên

Đặt A =
ta có A
6

Vậy
chia hết cho 35 với mọi n


2. Ta có:
; y =
; z =

Do đó:
x + y + z =

=

=


Vì a, b, c phân biệt nên
> 0
(1)
Giả sử cả ba số x, y, z
0. Từ (1) suy ra vô lí
Nếu có 2 số nhỏ hơn 0 hoặc 2 số bằng 0 thì thì từ (1) suy ra có ít nhất 1 số lớn hơn 0
Nếu có 1 số nhỏ hơn 0 và 1 số bằng 0 thì từ (1) suy ra đpcm

Bài 2:
1.







Lập bảng:
x – y + 3
1
7
- 1
- 7

2x + y – 5
7
1
- 7
- 1

x




- 2
- 2

y




2
8


Loại
Loại



Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x ; y) là (-2 ; 2); (-2 ; 8)

2. Cách 1: Điều kiện


(1). Đặt t =

ta có
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:



Với x = –t ta có:
(ĐK
) (3)
PT (3)

Với x = t – 1 ta có:
(ĐK x
–1) (4)
PT (4)

Vậy PT có tập nghiệm là

Cách 2: Điều kiện







Vậy PT có tập nghiệm là

Bài 3:
1. Ta có: p + q + r = 0
r = –p – q.
Khi đó: apq + bqr + crp = apq – (p + q)(bq + cp) =

Do đó: apq + bqr + crp
0
(*)
- Nếu c = 0 thì
(vì
)
a = b
Khi đó: (*)
(Bất đẳng thức luôn đúng với mọi b
0)
- Nếu c
0 thì c > 0 (vì c
0)
Khi đó: (*)