Đề thi chọn HSG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN ČM’GAR
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2017 – 2018
MÔN: TOÁN- THCS
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức
.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Cho
. Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Cho A =
(với
n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương.
b) Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn
. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:
.
Bài 3. (2,0 điểm)
Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.

Bài 4. (1,5 điểm)
Cho hình thang vuông ABCD (
), có DC = 2AB . Kẻ DH vuông góc với AC (H
, gọi N là trung điểm của CH. Chứng minh BN vuông góc với DN .
Bài 5. (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC

a) Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, J, I thẳng hàng
b) Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD. Chứng minh rằng


-------------------------- hết --------------------------






HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài
câu
Gợi ý lời giải
Điểm

1
a
Điều kiện:
.
0,25





0,25





0,25





0,25





0,25


b
Theo Côsi, ta có:
.
0,25



Dấu bằng xảy ra (
( x = y =
.
0,25



Vậy: maxP = 9, đạt được khi : x = y =
.
0,25




2,0

2
a


0, 25



 với n > 1 thì
>

0,25



 và
<

0,25



 Vậy không là số chính phương
đpcm
0, 25


b
Cho hai số thực a, b thỏa mãn
(1)
Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm:
(2)




TH1 : Với a = 0 thì (2)

Từ (1)
. Vậy (2) luôn có nghiệm

0,25



TH2 : Với
, ta có :

0,25





0,25



Vậy pt luôn có nghiệm
0,25









2,0

3

 Gọi
là số phải tìm a, b, c, d
N,

Ta có:







Do đó: m2–k2 = 1353

(m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )
m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33
m = 67 m = 37
k = 56 k = 4 ( loại)
Kết luận đúng
= 3136

0,25

0,25


0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

0,25




2,0

4



Gọi M là trung điểm của DH
Chứng minh tứ giác ABNM là hình bình hành
(1)
Chứng minh MN

Suy ra M là trực tâm của

(2)
Từ (1) và (2)






0,25
0,25
0,25
0,25
0,5




1,5




























a

Ta có IB ( AB;