Đề thi chọn HSG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 – 2018


ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn thi: Toán 9 THCS
Thời gian: 150 phút
Ngày thi: 05/4/2018

 (Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)

Câu 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức:

với
.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
.
Câu 2 (4,0 điểm). Cho phương trình:
.
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm.
b) Gọi
là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Giải phương trình:
.
b) Cho
là đa thức với hệ số nguyên. Biết
. Chứng minh rằng phương trình
không có nghiệm nguyên.
Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn
có
nội tiếp đường tròn (O). Kẻ phân giác trong AI của tam giác

cắt (O) ở E. Tại E và C kẻ hai tiếp tuyến với (O) cắt nhau ở F, AE cắt CF tại N, AB cắt CE tại M.
a) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh
.
c) Gọi AD là trung tuyến của tam giác ABC, kẻ DK//AI
. Chứng minh
.
Câu 5 (2,0 điểm). Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đoàn 26 – 3 . Biết rằng có n đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng một trận). Đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào. Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa và tổng số điểm của các đội là 336. Hỏi có tất cả bao nhiêu đội bóng tham gia?
--------------------------------Hết--------------------------------
LẠNG SƠN PHÁI – PNV BÌNH GIA
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 – 2018


Câu
Nội dung
Điểm

1a
Đặt
,
khi đó:



















1b










Do đó:



2a
phương trình:
có a + b + c = 0 nên có hai nghiệm:
. Chứng tỏ PT luôn có nghiệm

(hoặc tính theo
để biện luận)


2b
Do PT luôn có nghiệm nên theo ĐL Vi-et ta có:





Suy ra:




Nhận thấy rằng mẫu số của B luôn dương, do đó để B nhỏ nhất thì ta chỉ xét
hay
, đặt




Vậy
thay vào B, ta được:





Để B nhỏ nhất thì
phải lớn nhất, C>0
Để C lớn nhất thì
nhỏ nhất



Áp dụng BĐT Cô si:




Dấu = xảy ra khi
khi đó m = -1, vậy minB = -1/2 khi m = -1


3a
ĐK:









Đặt
ta được:









Với TH
hay
t/m



Với TH
hay
, ĐK:





t/m (loại
)



Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:
,



3b
Từ giả thiết ta có
là các số nguyên và x = 2017,
x = 2018 không là nghiệm của PT




Giả sử PT
có nghiệm nguyên là
, theo định lý Bơ-zu :
với
là đa thức hệ số nguyên không nhận x = 2017, x = 2018 làm nghiệm



Do vậy:




Nhân vế với vế và áp dụng giả thiết 
:





Điều này là vô lý vì vế trái là số lẻ, còn vế phải là số chẵn (
là 2 số nguyên liên tiếp, tích là số chẵn)



Vậy
không có nghiệm nguyên (đpcm)



GV có thể mở rộng cho HS:
- Số 2017 và 2018 có thể thay bởi bất cứ số nguyên nào miễn sao có 1 số chẵn và 1 số lẻ. Số 2019 có thể thay bằng 1 số nguyên lẻ bất kỳ.
- Liệu có tìm được đa thức nào