Đề thi chọn HSG

UBND THỊ XÃ BA ĐỒN ĐỀ THI NĂNG LỰC GVDG THCS
PHÒNG GD&ĐT CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2017-2018
PHẦN THI: KIẾN THỨC CHUYÊN MÔN
Số báo danh ……………. MÔN: TOÁN

Anh (chị) hãy làm hướng dẫn chấm theo định mức điểm của các bài toán sau:
Câu 1 (2,0 điểm):
a) Phân tích đa thức thành nhân tử:

b) Giải phương trình

Câu 2 (1,5 điểm):
Cho biểu thức
. Tìm các giá trị của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Câu 3 (3,5 điểm):
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, E là một điểm nằm trên cạnh CD (E khác C, D). Tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F. Qua F kẻ đường thẳng vuông góc với AE tại H và cắt BC ở G.
Tính số đo góc FAG.
BD cắt AF, AG lần lượt tại P, Q. Chứng minh AH, GP, FQ đồng quy.
Tìm vị trí của điểm E trên cạnh CD để diện tích tam giác AFG nhỏ nhất.











UBND THỊ XÃ BA ĐỒN HD CHẤM ĐỀ THI NĂNG LỰC GVDG THCS
PHÒNG GD&ĐT CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2017-2018
PHẦN THI: KIẾN THỨC CHUYÊN MÔN
MÔN: TOÁN

CÂU
ĐÁP ÁN
ĐIỂM

1
a) Phân tích đa thức thành nhân tử:




 Ta có:


0,25




0,25




0,25



(1)
0,25


b) Giải phương trình:






0,25





0,25



(Theo câu a).
0,25


Vì
;
. Nên x = -2
0,25

2
Cho biểu thức
. Tìm các giá trị của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.



Do
nên



0,25


Mà P nguyên
P = 1 hoặc P = 2
0,25


Nếu P = 1 giải phương trình
tìm được
(TM )
0,5


Nếu P = 2 giải phương trình
tìm được x = 0 (TM)
0,5

3


0,5


a) Chứng minh
ADF =
AHF (cạnh huyền - góc nhọn)

AH = AD = AB
0,25




AHG =
ABG (cạnh huyền - cạnh góc vuông)



0,25


Mà
nên

0.5


b) Xét tứ giác AQFD có
nên tứ giác AQFD nội tiếp đường tròn

mà


0.25






FQ
AG (1).
0,25


Tương tự chứng minh được GP
AF (2).
Mà AH
FG (gt) (3)
0,25



Từ (1), (2), (3) suy ra AH, FQ, GP đồng quy.
0,25


c) Do
ADF =
AHF
SADF = SAHF

ABG =
AHG
SABG = SAHG

SAFG = SADF + SABG
2SAFG = SABCD - SFGC = a2 - SFGC
Suy ra SAFG nhỏ nhất khi và chỉ khi SFGC lớn nhất.


0,5



Đặt CF = x, CG = y suy ra FG =

mà FH = FD, GH = GB
FC + FG + GC = CD + CB = 2a

2a = x + y +


(áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm)

xy

SFGC =


dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hay FC=GC


E trùng C







0,5

Ghi chú: Nếu thí sinh giải cách khác đúng vẫn chấm điểm theo biểu điểm từng câu.