Đề thi chọn HSG

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN




KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2009 – 2010

Môn thi: TOÁN LỚP 9 - BẢNG A
Thời gian làm bài: 150 phút




Câu 1. (4,5 điểm):
a) Cho hàm số

Tính
tại

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

Câu 2. (4,5 điểm):
a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 3. (3,0 điểm):
Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 4. (5,5 điểm):
Cho hai đường tròn (O; R) và (O`; R`) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O`). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O` lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng:
a)

b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5. (2,5 điểm):
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ
tại H. Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
- - - Hết - - -

Họ và tên thí sinh:.................................................................................................... Số báo danh:....................


SỞ GD&ĐT NGHỆ AN


KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010


HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang )
Môn: TOÁN - BẢNG A

Câu
Ý
Nội dung
Điểm

1,
(4,5đ)
a)
(2,0đ)







0,5






0,5






0,25






0,25






0,25






0,25


b)
(2,5đ)

(1)









0,25



Đặt
(2)

0,25



(1) trở thành
(3)
Từ (2)

thay vào (3) ta được
0,25




(*)
0,25





Để (*) có nghiệm



0,25


0,25



Vì
hoặc

0,25



Thay vào (*)
Với



0,25
0,25



 Với


0,25
0,25

2,
(4,5đ)
a)
(2,5đ)
ĐK
hoặc

0,25



Với
thoã mãn phương trình
0,25



Với
Ta có

0,5





0,5





0,25



Dấu "=" Xẩy ra

0,25




Vô lý
0,25



Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

0,25


b)
(2,0đ)

ĐK

0,25



Từ (1)

0,25



Thế vào (2) ta được:


0,25





0,25





0,25





0,25





0,25



Thay vào hệ (I) ta được:

0,25

3,
(3,0đ)

Ta có

0,25





0,25



Mà x; y > 0 =>x+y>0
0,25



Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
0,25



( x3 + y3 ≥ (x + y)xy
0