Đề thi chọn HSG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN

Đề chính thức

Số báo danh
.....................................


KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2016 - 2017

Môn thi: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày 30 tháng 11 năm 2016
(Đề có 01 trang, gồm 05 câu)



Câu 1: (5,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức:
với

2. Cho a, b thỏa mãn:
và
.
Tính giá trị của biểu thức:
.
Câu 2: (4,0 điểm)
1. Giải phương trình:
.
2. Tìm các số thực x, y thỏa mãn:

Câu 3: (4,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình:
.
2. Cho hai số nguyên a, b thỏa mãn:
. Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp.
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có 4 đỉnh nằm trên đường tròn tâm (O). P là điểm thuộc cung nhỏ AD của đường tròn (O) và P khác A, D. Các đường thẳng PB, PC lần lượt cắt đường thẳng AD tại M, N. Đường trung trực của AM cắt các đường thẳng AC, PB lần lượt tại E, K. Đường trung trực của DN cắt các đường thẳng BD, PC lần lượt tại F, L.
1. Chứng minh ba điểm K, O, L thẳng hàng.
2. Chứng minh đường thẳng PO đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF.
3. Giả sử đường thẳng EK cắt đường thẳng BD tại S, đường thẳng FL cắt đường thẳng AC tại T, đường thẳng ST cắt các đường thẳng PC, PB lần lượt tại U, V.
Chứng minh UVP = PLK.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn:
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.

---------------- Hết ---------------

Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.




PHÒNG GD&ĐT TRIỆU SƠN

HƯỚNG DẪN CHẤM
Đề chính thức
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2016 - 2017

Môn thi: Toán 9
Ngày thi: 30/11/2016
(Hướng dẫn chấm có 04 trang, gồm 05câu)


Câu
Nội dung đáp án

1
(5,0đ)

1. Với

Ta có:









Vậy với
ta có



2. Ta có:

Vì a > b > 0
nên từ (*) suy ra: a – 2b = 0 ( a = 2b
Vậy biểu thức:







2
(4,0đ)
1. Đặt
,
.
Khi đó phương trình:







Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là
.


2.


Ta có:
(1)(
(Do
với
)









Do
và
nên (3) vô nghiệm.
Thay
vào (2) tìm được:

Với

Với
.
Vậy các cặp số (x; y) thỏa mãn điều kiện bài toán là:


3
(4,0đ)
1. Ta có:


Do y nguyên dương

Vì

Ư(32)
mà

và
(Do
)
- Nếu

- Nếu


Vậy các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình là:



2. Ta có:




(*)
Do a, b nguyên nên
là số chính phương. Suy ra a là số chính phương
(x là số nguyên).
Khi đó (*) trở thành:

Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp.














4
(6,0đ)













































5
(1,0đ)

Xét
BAM vuông tại A.
Vì trung trực của AM song song với AB và đi qua trung điểm của AM nên đường trung trực đó là đường trung bình của
BAM
K là trung điểm của BM.

BMD có O là trung điểm BD, K là trung điểm BM