Đề thi chọn HSG

ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
ĐỀ SỐ 01
Câu 1. (4 điểm)
a) Cho biểu thức
với
. Rút gọn P và chứng minh P

b) Giải phương trình

Câu 2. (3 điểm)
Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn
. Chứng minh giá trị biểu thức
là số chính phương.
Câu 3. (5 điểm)
a) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức:


b) Cho x, y là hai số thực dương. Chứng minh rằng

Câu 4. (5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và điểm A ở ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi tích OH. OA không đổi.
Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Gọi E là hình chiếu của C trên BD và F
là trung điểm CE. Chứng minh ba điểm A, F, D thẳng hàng.
Câu 5. (3 điểm)
Cho tam giác ABC. D là điểm thay đổi nằm giữa A và B. Kẻ đường thẳng qua D song song BC cắt AC tại E.
Chứng minh rằng
.
Xác định vị trí điểm D trên AB để diện tích tam giác BDE lớn nhất.
==== hết=====