Đề thi chọn HSG

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI


MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 90 phút( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (3 điểm)
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a,

b,

2. Cho
. Chứng minh rằng:

Câu 2: (2 điểm)
1. Tìm a,b sao cho
chia hết cho đa thức

2. Tìm số nguyên a sao cho
là số nguyên tố

Câu 3.( 3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD.
Kẻ ME
AB, MF
AD.
a. Chứng minh: DE = CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

Câu 4.(1,5 điểm)
Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011



--------------------------HẾT--------------------------
















UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8



Câu
Đáp án
Điểm






1

1a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2
0,5


 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
0,25


 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
0,25


1b. ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24



 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
0,25


 = (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
0,25
0,25


 = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
0,25


2. Nhân cả 2 vế của:

với a + b + c


0,5


 rút gọn
đpcm
0,5




2

1. Ta có :
Vì
chia hết cho đa thức


0,25


Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)



0,25


Với

Với


0,25


Thay (1) vào (2) . Ta có :
và

0,25


2. Ta có :

0,25


Vì




Có

Và


0,25


Vậy
là số nguyên tố thì
hoặc

0,25


Nếu
thử lại thấy thoả mãn
Nếu
thử lại thấy thoả mãn

0,25










3










0,25


a. Chứng minh:




đpcm
0,5
0,5


b. DE, BF, CM là ba đường cao của
đpcm
1


c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

không đổi

0,5



lớn nhất


(AEMF là h.v)

là trung điểm của BD.
0,25
0,25
0,25




4

 (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002

(a+ b) – ab = 1

(a – 1).(b – 1) = 0

a = 1 hoặc b = 1
0,25
0,25
0,25
0,25


Vì a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1; hoặc b = 0 (loại)
Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

0,25
0,25


* Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho