Đề thi chon học sinh giỏi Toán 9 Phu Tho

PHÒNG GD& ĐT THANH BA
TRƯỜNG THCS ĐẠI AN
ĐỀ CHÍNH THỨC


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề



Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức

Với

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi

c) So sánh A với
.
Bài 2: (4,0 điểm)

a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x3 + y3
b) Chứng minh rằng:
Biểu thức
có giá trị là một số tự nhiên.
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình

b) Cho 3 số thỏa mãn điều kiện:
x2+2y+1 = y2+2z+1 = z2+2x+1 = 0
Hãy tính giá trị của biểu thức: A = x2012 + y2012 + z2012
Bài 4.(7,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD
a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC
b) Tính độ dài phân giác AD?
Bài 5: (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau:




----- Hết -----

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN LỚP 9

Bài 1 (4 điểm)

a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)



















0.5


0.5


0.25


0.25


0.5

b) Tính giá trị của A khi
(1 điểm).
Tính





0.5

0.5


c) So sánh A với
(1 điểm).
Biến đổi

Chứng minh được
với mọi





0.25

0.25



0.5

Bài 2 (4 điểm)

a) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( vì x + y = 1)
M =

Suy ra M

Mặt khác : x + y =1
x2 + y2 +2xy = 1
2(x2 + y2) – (x – y )2 = 1

2(x2 + y2)
1
Do đó : x2 + y2

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x = y =

Ta có M
và x2 + y2

M

Vậy M
, nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng
khi x = y =


0.25

0.5

0.25

0.5




0.25

0.25


b) Biểu thức
có giá trị là một số tự nhiên ).
Ta có :
.

.

.
Vậy B có giá trị là một số tự nhiên.



0.75


0.75


0.5

Bài 3 (4điểm) Giải phương trình

a)



Điều kiện





x = 2 thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.


0.5


0.25



0.25

0.5

0.5

b).Ta có x2+2y+1 = 0 (1); y2+2z+1 = 0 (2)
z2+2x+1 = 0 (3)
Cộng từng vế của (1),(2),(3) ta có
(x2+2x+1) +( y2+2y+1) + (z2+2z+1) = 0


Vậy: A = x2012 + y2012 + z2012 = (-1)2012+(-1)2012+(-1)2012 = 3


0.25



0.5




0.75



0.5

Bài 4 (7 điểm)

 Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp
ABC
Gọi E là