DE TH HSG TP TH NAM 16-17

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA
-------------------------

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn Toán : Lớp 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)
---------------------------


Bài 1: (5,0 điểm)
Cho biểu thức:
. Với x
0, x
1.
Rút gọn biểu thức P.
Tìm x để
.
So sánh: P2 và 2P.

Bài 2: (4,0 điểm)
Tìm
thỏa mãn:

Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện:


Chứng minh rằng:
chia hết cho 3.

Bài 3: (4,0 điểm)
Giải phương trình sau:

Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.

Bài 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. M là trung điểm của EF.
Chứng minh: CM vuông góc với EF.
Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.
Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD

Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:


--------------------------------------------------- Hết--------------------------------------------------
Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Họ tên thí sinh:- -----------------------------------------------Số báo danh: -----------------------------------
Chữ ký của giám thị 1: -----------------------------------; Chữ ký của giám thị 2: ---------------------------
PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG TOÁN 9
NĂM HỌC 2016 - 2017


Câu
Ý
Nội dung
Điểm

Bài 1
5,0đ
a

2 đ
Điều kiện : x
0, x
1.









0,5


0,5



0,5


0,5







b
2,0đ
Với x
0, x
1. Ta có:


Vì
nên

(t/m)
Vậy P =
khi x = 4




0,5



1,0

0,25

0,25







c
1,0đ
Vì



Dấu “=” xảy ra khi P = 2
x = 0
Vậy P2 
2P
0.25


0,25



0,25

0,25

Bài 2
4,0đ
A
2 đ


Vì x, y
Z nên x - 1
Ư(-1) =


+) Nếu x – 1 = 1
x = 2
Khi đó 2y2  - y – 2 = - 1

y = 1 (t/m)
hoặc y =
Z (loại)
+) Nếu x – 1 = -1
x = 0
Khi đó 2y2  - y = 1

y = 1 (t/m)
hoặc y =
Z (loại)
Vậy



0,5
0,25


0,5



0,5

0,25


b
2đ
a) Từ giả thiết


Vì a, b, c
0 nên a + b + c = 0


Vậy
với a, b, c

Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.




0,5

0,5


0,5

0,25
0,25


Bài 3
4,0đ
a
2đ
Đkxđ:



Vì
với


10x – 20

Ta có:


Vậy phương trình có nghiệm là x = 4
 0,25


0,5


0,5



0,5

0,25


b
2đ
x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0