ĐỀ ÔN THI HSG TOÁN 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ THANH HÓA
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
DỰ THI CẤP TỈNH CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9


Đề chính thức
NĂM HỌC: 2014 – 2015
Môn: Toán - Lớp 9

Đề thi gồm có: 01 trang
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Ngày thi: 06 tháng 01 năm 2015


ĐỀ BÀI
Bài 1 (4,0 điểm)
1) Cho a +b + c = 0 và a, b,c đều khác 0. Rút gọn biểu thức:
A =

2) Tính giá trị của biểu thức:
P =
tại x =
.
Bài 2 (4,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
( 2x + 5y + 1)(
+ y ) = 105
Bài 3 (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn (20142014 +1) chia hết cho n3 + 2012n.
2) Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2x2 + x = 3y2 + y.
Chứng minh x – y; 2x +2y +1 và 3x + 3y +1 đều là các số chính phương.
Bài 4 ( 6,0 điểm)
Cho đường tròn (O,R) và một đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Trên d lấy một điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E.
a) Chứng minh
đồng dạng với

b) Chứng minh CM vuông góc với OE.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của dây AB và diện tích tứ giác MAOB.
Bài 5 (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


(Hết)



Họ và tên thí sinh: ..........................................................Số báo danh: ................. Phòng thi: ............
ĐỀ ÔN THI HSG LỚP 9 ( ĐỀ 85)

Bài 1 (4,0 điểm)
1) Cho a +b + c = 0 và a, b,c đều khác 0. Rút gọn biểu thức:
A =

2) Tính giá trị của biểu thức:
P =
tại x =
.
Bài 2 (4,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
( 2x + 5y + 1)(
+ y ) = 105
Bài 3 (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn (20142014 +1) chia hết cho n3 + 2012n.
2) Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2x2 + x = 3y2 + y.
Chứng minh x – y; 2x +2y +1 và 3x + 3y +1 đều là các số chính phương.
3)CMR : n7 – 14 n5 + 49 n3 – 36 n chia hết cho 210 (với n thuộc tập Z)
Bài 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O,R) và một đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Trên d lấy một điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E.
a) Chứng minh
đồng dạng với

b) Chứng minh CM vuông góc với OE.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của dây AB và diện tích tứ giác MAOB.
Bài 5 (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


(Hết)










HƯỚNG DẪN CHẤM ( ĐỀ 85)
Môn: Toán - Lớp 9
Bài
Câu
Tóm tắt cách giải
Điểm







1

(4,0đ)



1)

2,0đ
Từ a + b + c = 0 suy ra a + b = - c.
Bình phương hai vế ta được a2 + b2 + 2ab = c2
nên a2 + b2 - c2 = - 2ab
Tương tự : b2 + c2 - a2 = - 2bc và c2 + a2 - b2 = - 2ac .
Do đó: A =

Vậy A =



0,75

0,5



0,75








2)
2,0đ