De on tap

ĐỀ ÔN TẬP SỐ 8.
Bài 1.
Giải hệ phương trình:
.
Giải phương trình :

Bài 2.
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức:
.
Với a, b là các số thực dương, tìm giá trị lớn nhát của biểu thức:

Bài 3. Cho hình thoi ABCD có
. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BD,BA lần lượt tại J, L. Trên đường thẳng LJ lấy điểm K sao cho BK song song ID.
Chứng minh rằng
.
Chứng minh rằng
.
Chứng minh rằng bốn điểm C, K, I, L cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 4. Tìm tập hợp số nguyên dương n sao cho tồn tại một cách sắp xếp các số 1, 2, ,3,.., n thành
mà khi chia các số
cho n ta được các số dư đôi một khác nhau

HƯỚNG DẪN GIẢI.
BÀI
NỘI DUNG

1

Từ phương trình (1) suy ra ra: xy=x2+y2-1 (3) thay vào (2) ta được


từ (4) ta có x=y Thay vào 1 ta có:


từ (5) ta có:


với x=y=0 thay vào (1) ta có : 0+0-0=1 (vô lí)
suy ra x=y=0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Vậy hệ phương trình đã cho có S=


2
a)
ĐKXĐ:



đặt:

Khi đó (*) trở thành:
(1)
mặt khác ta có
(2)
Xét với b=0 ta có

Xét với
Từ (2) ta có:
(3)
Từ (1) Và (3) suy ra :

Khi đó từ (2) suy ra: 2a2=2 suy ra a=1 ( vì a
)
Do đó a=b=1

vậy phương trình có nghiệm x=0


b)
Chứng minh bổ đề: Nếu số nguyên tố p có dạng: 4n+3 thì


Ta có:


Áp dụng bổ đề trên ta có  19 là số nguyên tố và19= 4.4+3 nên suy ra :


điều này không xảy ra vì 4617 không chia hết cho192
vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.



Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:



Vậy: Max M=1 khi a=b=1

3
Hình vẽ




a)
Ta có
mà


Vậy



b)
Gọi G là giao điểm của CJ và BK
ta có
(Đối đỉnh)
và
(Cùng phụ với
)


Mà

Suy ra tứ giác BCKJ nội tiếp suy ra
( vì ABCD là hình thoi nên
hay góc BJC vuông) suy ra



c)
Vì tam giác IJL cân tại I ( J,L Thuộc đường tròn (I)) nên
mà
(Theo b) và
( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung JK) suy ra

hay
suy ra tứ giác IKCL nội tiếp suy ra 4 điểm C, K, I, L cùng nằm trên một đường tròn.

4

Trước hết ta đi chứng minh bổ đề sau: Với n là hợp số và n>4 thì (n-1)!
n
Thật vậy ta có: Với n là hợp số và n>4 thì n=a.b với a,b là các số nguyên khác 1 và n. suy ra
suy ra n-1)!
n

từ giả thiết ta có an phải bằng n vì nếu an
n; ai=n (i
thì


điều này trái với đề bài cho.
Do đó an=n
nếu n là một số lớn hơn 4và n là hợp số . theo bổ đề trên ta có a1a2...an-1=(n-1)!
n
mà a1a2...an
n do đó hai số này
chia cho n có cùng số dư là 0 điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Như vậy
suy ra n=4( vì n là hợp số)
Xét với n =4 thì tồn tại dãy số: 1;3;2;4 có 1; 1.3; 1.3.2;1.3.2.4 khi chia cho 4 có số dư lần lượt là 1;3;2;0 thoả mãn đề bài.
vậy n=4