Đề ôn luyện HSG Toán 9 - Có đáp án

TRƯỜNG THCS TỰ CƯỜNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
Môn Toán 9
Thời gian làm bài 180 phút

Bài 1( 1,5 điểm): Cho a, b, c thoả mãn:

Tính giá trị biểu thức: P =

Bài 2( 1,5 điểm): Chứng minh rằng nếu
và a + b + c = abc thì ta có

Bài 3( 1,5 điểm): Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng

Bài 4( 1,5 điểm): Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1
Chứng minh rằng:

16
Bài 5( 2 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh BC và CD ( hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F. Chứng minh rằng:

Bài 6( 2 điểm): Cho ∆ ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết IA = 2
cm, IB = 3cm. Tính độ dài AB




Hướng dẫn giải:
Bài 1: Từ gt ta suy ra



Xét hai trường hợp
*/ Nếu a + b + c = 0
a + b = -c b + c = - a c + a = -b
Khi đó P =
=
=
.
.
=
= 1
Nếu a + b + c
0
a = b = c
P = 2.2.2 = 8
Bài 2: Từ







theo giả thiết a + b + c = abc






(đpcm)

Bào 3: Áp dụng BĐT Côsi ta có x2 + y2
2xy (1)
y2 + z2
2yz (2)
z2 + x2
2zx (3)
Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 + y2 + z2 )
2( xy + yz + zx )

2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 )
( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )

3( x2 + y2 + z2 )
( x + y + z )2 chia hai vế cho 9 ta được

hay

Bài 4: Áp dụng BĐT Côsi x + y
2
ta có ( a + b) + c
2


1
2

1
4( a + b)c nhân hai vế với a + b > 0 ta được:
A + b
4(a + b)2c mà ta chứng minh được (a + b)2
4ab
Do đó a + b
4(4ab)c hay a + b
16abc từ đây suy ra đpcm

Bài 5:
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AF cắt DC tại G
Chứng minh được ∆ ABR = ∆ ADG ( g.c.g)

AE = AG
Xét ∆ AGF vuông tại A có AD là đường cao nên ta có

do đó thay AG = AE ta được

(đpcm)

Bài 6:
Kẻ AM
AC M thuộc tia CI
Chứng minh được ∆ AMI cân tại M
MI = AI = 2

Kẻ AH
MI
HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 )
Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM2 = MH.MC

(2
)2 = x.(2x + 3)

2x2 + 3x – 30 = 0
( 2x – 5)(x + 4) = 0

x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)
Vậy MC = 8cm
Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2
)2 = 64 – 20 = 44

AC =
= 2
cm
AB = 2
cm