Đề luyện thi chuyên

Một số đề tự luyện ôn thi học sinh giỏi và thi vào chuyên
MÔN TOÁN LỚP 9


ĐỀ SỐ 1 (Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1 (2,0 điểm)
Cho a, b, c, d và A, B, C, D thỏa mãn điều kiện:  =  =  =  .
Chứng minh:  +  +  +  = 

Bài 2 (2,5 điểm)
Giải hệ phương trình sau: 

Bài 3 (2,5 điểm)
Giả sử a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình:
bx + (b + c - a)x + c = 0 (với x là ẩn) vô nghiệm

Bài 4 (3 điểm)
Cho góc  = 45 quay quanh điểm A cố định. Từ điểm B cố định nằm trong góc vẽ BM và BN lần lượt vuông góc với Ax, Ay.
Chứng minh đoạn thẳng MN luôn có độ dài không đổi và đường tròn đường kính MN luôn đi qua một điểm cố định.
Gọi E, F là giao điểm BM với Ay và của BN với Ax. Chứng minh EF có độ dài không đổi và EF song song với một đường thẳng cố định.
Khi góc xAy quay quanh A. Chứng minh trung điểm I của EF thuộc một đường tròn cố định.


ĐỀ SỐ 2 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (2,0 điểm)
Cho số tự nhiên có ba chữ số . Biết  chia hết cho 37. Chứng minh các số  và  cũng chia hết cho 37.

Bài 2 (2,5 điểm)
Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn a+b+c ( 6. Chứng minh tổng a+b+c cũng chia hết cho 6.

Bài 3 (2,5 điểm)
Cho a ≠ 0. Giả sử x và y là nghiệm của phương trình: x - ax -  = 0. Chứng minh rằng x + y > 2 + 

Bài 4 (3 điểm)
Cho tam giác MNP nội tiếp trong đường tròn (O). Các đường cao NK và cắt nhau tại N và P.
Chứng minh SK // NP
Chứng minh OM ( SK
Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MSK không đổi khi M chuyển động trên cung lớn NP


ĐỀ SỐ 3 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (2,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2xy + x + y =41

Bài 2 (2,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M =  + 

Bài 3 (2,0 điểm)
Giải phương trình  +  = 1

Bài 4 (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao BD và CK cắt đường tròn (O;R) theo thứ tự tại E và F (D ( AC ; K ( AB). Chứng minh:
DK // EF
Bán kính đường tròn ngoại tiếp (ADK không đổi khi A di động trên cung lớn BC của (O;R)

Bài 5 (1 điểm)
Cho (ABC có  = 90 và các cạnh góc vuông là b, c; cạnh huyền là a. Chứng minh: a > 


ĐỀ SỐ 4 (Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1 (2,0 điểm)
Tìm số có hai chữ số biết rằng nó bằng lập phương của một số tự nhiên và tổng của hai chữ số của nó bằng bình phương của số tự nhiên đó.

Bài 2 (2,5 điểm)
Cho a + b = 2. Chứng minh rằng a + b < 2

Bài 3 (2,5 điểm)
Giải hệ phương trình 

Bài 4 (1,0 điểm)
Cho đa thức M = x - 5x + 4x (x ( Z)
Tìm x để đa thức triệt tiêu
Chứng minh rằng đa thức chia hết cho 120

Bài 5 (2,0 điểm)
Cho góc nhọn xOy và điểm M cố định thuộc miền trong của góc. Một đường thẳng thay đổi vị trí nhưng luôn đi qua M cắt Ox, Oy thứ tự ở A, B. Gọi S, S là diện tích các tam giác MOA và MOB. Chứng minh rằng tổng  +  có giá trị không đổi.



ĐỀ SỐ 5 (Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1 (2,0 điểm)
Có 10 thùng đựng mì chính.