Đề & Lời giải Toán chuyên LQĐ Bình Định 2018

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019

Đề chính thức Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán)
Ngày thi: 03/ 6/ 2018
Thời gián làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (2,0điểm)
1. Cho biếu thức :
, với

a) Rút gọn biểu thức T
b) Chứng tỏ T > 1
2. Cho n là sô tự nhiên chẵn, chứng minh rằng số
chia hết cho số 323
Bài 2: (2,0 điểm)
1. Giải bất phương trình:

2. Giải hệ phương trình:

Bài 3: (1,0 điểm).
Cho phương trình:
(m là tham số). Tìm các giá trị m là số nguyên sao cho phương trình có nghiệm là số hữu tỉ.
Bài 4: (4 điểm).
1. Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn và AB
BC; BC
CA. Xác định vị trí điểm M thuộc miền tam giác ABC
(gồm các cạnh và miền trong tam giác) sao cho tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh nhỏ nhất.
2. Cho tam giác ABC (AB < AC) có các goc đều nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF
cắt đường thẳng BC và AD lần lượt tại K và I. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt AK, AD lần lượt tại M
và N. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh:
a) DA là phân giác của

b) F là trung điểm của MN
c)
và

Bài 5: (1,0 điểm)
Cho hai số dương a, b thỏa mãn
. Chứng minh rằng:


















Lượt giải:

Bài 1: (2,0điểm)
1.
a) Rút gọn T:
Với
, ta có:


Vậy :
, với
.
b) Chứng tỏ T > 1
Ta có:
, với
. (kết quả câu 1.a)

(vì
với
)
Vậy T > 1
2. Ta có:

(*)
Vì n là số tự nhiên chẵn nên n = 2k (
)
A =

Áp dụng (*), có:


với mọi số tự nhiên n chẵn (1)
và có:


với mọi số tự nhiên n chẵn (2)
mà 17 và 19 là hai số nguyên tố cùng nhau nên từ (1) và (2) suy ra:
với mọi số tự nhiên n chẵn
Vậy
với mọi số tự nhiên n chẵn
Bài 2: (2,0 điểm)
Giải bất phương trình:
(1)




Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm

2. Giải hệ phương trình:
(2)
Đặt S = x + y
0; P = xy
0, ta có:

Khi đó: S = 2;
khi và chỉ khi x, y là nghiệm của phương trình:
vô nghiệm (
)
S = – 3; P = 2 khi và chỉ khi x, y là nghiệm của phương trinh:

Vai trò của x, y trong hệ (2) như nhau, do vậy hệ (2) có hai nghiệm: (x = – 1; y = – 2), (x = – 2; y = – 1)

Bài 3: (1,0 điểm). Phương trình:
(3)
Có

(3) có nghiệm hữu tỉ với
khi và chỉ khi
chính phương, suy ra:


(3m – 7 – n)(3m – 7 + n) = 15
) (4)
Phương trình (4) tương đương với 8 hệ phương trình:

(4.1),
(4.2),
(4.3),
(4.4)

(4.5),
(4.6)
(4.7),
(4.8)
Giải 8 hệ trên, suy ra hệ phương trình (3) có nghiệm hữu tỉ khi: m = 1 hoặc m = 5
Bài 4: (4 điểm).
1. Gọi khoảng cách từ M đến BC, CA, AB lần lượt là: x, y, z
Ta có:
(vì
)


+ Nếu AB > BC thì dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: M
C
+ Nếu