ĐỀ- LỜI GIẢI HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH 18 - 19

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
BÌNH ĐỊNH LỚP 9 THCS - KHOÁ NGÀY 18 – 3 – 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 18/3/2019

Bài 1 (5,0 điểm).
1.Tính giá trị biểu thức A =
, biết rằng

;

2. Cho hai số thức m, n khác 0 thỏa mãn

Chứng minh rằng phương trình
luôn có nghiệm
Bài 2. (5,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình


2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:



Bài 3 (3,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1.
2. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3
Chứng minh rằng

Bài 4 (7,0 điểm).
1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N lên đường thẳng PD.
a) Chứng minh rằng AH vuông góc với BH
b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng.
2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Gọi M là giao điểm của AO và BC. Chứng minh rằng
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?



GV: Võ Mộng Trình – THCS Cát Minh, Phù Cát – Bình Định




LỜI GIẢI THAM KHẢO – ĐỘC GIẢ GÓP Ý
Bài 1.
1. Đặt
= a + b khi đó




(1)
Đặt
= c + d khi đó




(2)
Từ (1) và (2) suy ra A =
=

2. Ta có


Ta có


Phương trình (1) là PT bậc hai có

Phương trình (2) là PT bậc hai có

Do đó
=

Suy ra trong
và
có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 0
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm
Bài 2.
1.
. Điều kiện x
0
PT (1)
(3)
PT (3) là phương trình bậc hai ẩn x có

Do đó PT (3) có hai nghiệm
(loại vì x
0), x =
(điều kiện y
1 vì x
0)

y = -x + 1 . Thay y = -x + 1 vào PT (2) ta có








x = 1 (TMĐK) suy ra y = 0 (TMĐK)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) là (1 ; 0)
2.


Đặt
= a, khi đó PT (1) trở thành

Phương trình (2) có

Phương trình (1) có nghiệm nguyên
Phương trình (2) có nghiệm nguyên


là số chính phương
Đặt
=
(k
N)


Vì (k + a – 2) + (k – a + 2) = 2k là số chẵn và có tích cũng là số chẵn nên (k + a – 2) và (k – a + 2) là số chẵn.
Do đó
hoặc


hoặc

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm là

Ta có
= a = 2

= 0

= 0

. Ta chọn y = 1 (vì y
Z)
Vậy nghiệm nguyên (x ; y) của hệ phương trình là (2 ; 1) và (0 ; 1)

Bài 3:
1. Gọi
là hai điểm xa nhau nhất trong các điểm thuộc tập hợp 8073 điểm đã cho .
Giả sử
là điểm cách xa đoạn thẳng
nhất . Khi đó
Tam giác

là tam giác lớn nhất và có diện tích hông lớn hơn 1
Vẽ các đường thẳng đi qua các điểm
,
,
lần lượt song song với các cạnh của



Ta được 4 tam giác nhỏ bằng nhau và một