Đề KSCL HSG Toán 9 ( Bài 2) Có đáp án

TRƯỜNG THCS TỰ CƯỜNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 9

Bài 1: Chứng minh rằng: a2 + b2
a + b -

Bài 2: Chứng minh rằng, nếu có ax3 = by3 = cz3 và

thì

Bài 3: Cho a , b , c là ba số khác 0 thoả mãn:

Chứng minh rằng: (ax + by + cz )2 = ( x2 + y2 + z2)( a2 + b2 + c2 )

Bài 4: Cho ∆ ABC vuông tại A, phân giác AD
Chứng minh hệ thức:

Hệ thức trên thay đổi như thế nào nếu thây đường phân giác trong AD bằng đường phân giác ngoài AE

Bài 5: Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của ∆ ABC.
Chứng minh rằng: sin


Hướng dẫn:
Bài 1: ta có:

0
a2
a -

Tương tự ta có:

0
b2
b -

Suy ra a2 + b2
a + b -

Bài 2: Đặt M =
=
( vì ax3 = by3 = cz3)
=
=


=

Chứng minh rương tự ta có
=


=
Vậy
=
+
+
= M.
= M
Vì
= 1

= M hay
=


Bài 3: Đặt A =

A =

=
= 0
Suy ra ay – bx = cx – az = bz – cy = 0
(ay – bx)2 = (cx – az)2 = (bz – cy)2 = 0

(ay – bx)2 + (cx – az)2 + (bz – cy)2 = 0

( x2 + y2 + z2)( a2 + b2 + c2 ) - (ax + by + cz )2 = 0

( x2 + y2 + z2)( a2 + b2 + c2 ) = (ax + by + cz )2 (đpcm)
Bài 4: Đặt AC = b; AB = c
Ta có SABC =
bc

bc = 2 SABC = 2 SABD + 2SADC
= AD.AB.sin450 + AC.AD.sin450
= ( AB + AC )AD.sin450
= ( b + c )AD.sin450
Suy ra bc = ( b + c )AD.
= ( b + c ).



=


=

Vậy
(đpcm)
Ta có bc = 2 SABC = 2 SACE - 2SABE = AE.AC.sin1350 – AE.AB.sin450
= ( b – c )AE.

bc = ( b – c )AE.
= ( b – c ) AE.



=
Vậy



Bài 5:
Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM
Ax
CN
Ax
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có
sinMAB = sin
=

BM = c.sin

sinNAC = sin
=

CN = b. sin

Do đó BM + CN = sin
( b + c)
Mặt khác ta luôn có BM + CN
BD + CD = BC = a
Vì thế sin
( b + c )
a ( vì sin
< 1)
Do b + c
2
nên
hay sin

(đpcm)