Đề kiểm tra đội tuyển toán 2016

PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO
---------------------------------
ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 9
MÔN TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Ngày 19 tháng 2 năm 2016


Câu 1 (3 điểm)
a) Cho các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn
Chứng minh rằng tích

chia cho 3 chia cho 12.
b) Tìm các số nguyên k để biểu thức
là số chính phương.
.Câu 2 (4điểm)
Tính giá trị của biểu thức sau:
, biết
.
b) Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện sau:

+
+ x2 =
+
+ y2
Chứng minh rằng: x = y
Câu 3 (4 điểm)
a) Giải phương trình
.
b)Giải hệ phương trình
.
Câu 4 (7 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) lấy điểm E sao cho E khác A và B. Đường thẳng AE cắt các tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Gọi F là giao điểm của MC và BN. Chứng minh:
Hai tam giác CAN, tam giác MBA đồng dạng với nhau và BM. CN = BC2.
BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBF.
EF luôn đi qua một điểm cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ AB của (O) (E khác A và B)
Câu 5 (2 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: x+y+z=3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

----------------------------- Hết ------------------------------









Hướng dẫn
Câu 1 a) b)Chứng minh được với mọi số tự nhiên a có
chia cho 3 hoặc 4 được số dư là 0 hoặc 1.
+ Số 2051 chia cho 3 dư 2, nên trong 3 số
phải có 1 số chia hết cho 3, suy ra trong 3 số a; b; c có một số chia hết cho 3 (vì 3 là số nguyên tố).
+ Số 2051 chia cho 4 dư 3, nên 3 số
khi chia cho 4 đều dư 1, dẫn đến a; b; c đều lẻ -> tích abc không chia hết cho 4.
Suy ra tích a.b.c chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 12.

b)
Đặt

Ta có





M là số chính phương khi và chỉ khi
hoặc
là số chính phương.

+
.
+ Xét
là số chính phương, đặt


Ta có


vì
,
nên

và
suy ra

Vậy với
và
thì
là số chính phương

Câu 2 a)
Với
thì ta có












Biến đổi được
.

b) Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện sau:

+
+ x2 =
+
+ y2
Chứng minh rằng: x = y
HD Giả sử có x, y thoả mãn
+
+ x2 =
+
+ y2
=> x ( 1; y ( 1
- Nếu x=1=y thì x = y (đpcm !)
Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, được:

+
+ x2 =
+
+ y2 <=>
<=> (
-
) + (
-
) + (x2 - y2) = 0
<=>(x2- y2)/(
+
) +(x - y)/(
+
)+(x2-y2) = 0
<=> (x - y).((x+y)/(
+
) +1/(
+
) +x+y)= 0
<=> x - y = 0 <=> x = y
(vì : (x+y)/(
+
) + 1/(
+
) + x + y > 0)
Vậy nếu x, y thoả mãn đẳng thức trên thì x = y

Câu 3 a)Giải phương trình
.
Giải phương trình

Điều kiện







Giải phương trình


Giải phương trình



b)Giải hệ phương trình
.



ĐK:
.

vì


Thay vào (2) ta được




Vậy nghiệm của phương trình là
.


Câu 4