đề KHTN nam 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017
MÔN THI : TOÁN ( Cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát đề )

Câu I. (3.5 điểm )
1) Giải hệ phương trình.


2) Giải phương trình :

Câu II. (2.5 điểm )
1)Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức


2) Với a, b là các số thực dương , tìm giá trị lớn nhát của biểu thức


Câu III. ( 3 điểm )
Cho hình thoi ABCD có
. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BD,BA lần lượt tại J, L. Trên đường thẳng LJ lấy điểm K sao cho BK song song ID.
a)Chứng minh rằng
.
b)Chứng minh rằng
.
c)Chứng minh rằng bốn điểm C, K, I ,L cùng nằm trên một đường tròn.
Câu IV. (1 điểm )
Tìm tập hợp số nguyên dương n sao cho tồn tại một cách sắp xếp các số 1, 2, ,3,.., n thành
mà khin chia các số
cho n ta được các số dư đôi một khác nhau




Họ và tên thí sinh:…………………………….….Số báo danh:……………….
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.








ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐÁP ÁN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017
MÔN THI : TOÁN ( Cho tất cả các thí sinh)

Câu I. (3.5 điểm )
1) Giải hệ phương trình.


2) Giải phương trình :

hướng dẫn giải
1)Giải hệ phương trình.


Từ phương trình (1) suy ra ra: xy=x2+y2-1 (3) thay vào (2) ta được


từ (4) ta có x=y Thay vào 1 ta có :


từ (5) ta có :


với x=y=0 thay vào (1) ta có : 0+0-0=1 (vô lí)
suy ra x=y=0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Vậy hệ phương trình đã cho có S=


2) Giải phương trình: ĐKXĐ:



đặt:

Khi đó (*) trở thành:
(1)
mặt khác ta có
(2)
Xét với b=0 ta có

Xét với
Từ (2) ta có:
(3)
Từ (1) Và (3) suy ra :

Khi đó từ (2) suy ra: 2a2=2 suy ra a=1 ( vì a
)
Do đó a=b=1

vậy phương trình có nghiệm x=0
Câu II. (2.5 điểm )
1)Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức



2) Với a, b là các số thực dương , tìm giá trị lớn nhát của biểu thức


Hướng dẫn giải
1)Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức


Chứng minh bổ đề: Nếu số nguyên tố p có dạng: 4n+3 thì
(Tự chứng minh)
Ta có:


Áp dụng bổ đề trên ta có  19 là số nguyên tố và19= 4.4+3 nên suy ra :



điều này không xảy ra vì 4617 không chia hết cho192
vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
2) Với a, b là các số thực dương , tìm giá trị lớn nhát của biểu thức


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:





vậyMax M=1 khi a=b=1
Câu III. ( 3 điểm )
Cho hình thoi ABCD có
. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BD,BA lần lượt tại J, L. Trên đường thẳng LJ lấy điểm K sao cho BK song song ID.
a)Chứng minh rằng
.
b)Chứng minh rằng
.
c)Chứng minh rằng bốn điểm C, K, I ,L cùng nằm trên một đường tròn .

Hướng dẫn giải



Ta có
mà


Vậy

b)