ĐE HSG TOAN 9- CT-2018

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
CẨM THỦY

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH (LẦN 2)
Năm học 2018 - 2019
Môn: Toán - Lớp 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Câu I. (4,0 điểm):
Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:


2. Tính tổng:


Câu II. (4,0 điểm):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M(1;
); N(3;0); K(4;
). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC sao cho M, N, K lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA.
Giải phương trình:
.
Câu III. (4,0 điểm):
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:
.
Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho:
là số nguyên. Chứng minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1).
Câu IV. (6,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) và dây cung AH < R. Qua H vẽ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O; R). Vẽ đường tròn (A; R) cắt đường thẳng d tại B và C sao cho H nằm giữa B và C. Vẽ HM vuông góc với OB (M
OB), vẽ HN vuông góc với OC (N
OC).
Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh: OB.OC = 2R2.
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi.
Câu V. (2,0 điểm): Cho các số thực dương
thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng:

-------------Hết------------

Chữ ký giám thị 1: ………………………………
Chữ ký giám thị 2: ………………………………
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
(Đáp án gồm có 04 trang)

Bài
Đáp án
Điểm




1
(4đ)

Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:


Đặt


Mặt khác:

Suy ra:


Vậy








0,5đ


0,5đ



0,5đ


0,5đ




2. Tính tổng:


Ta có:


Với
n ≥ 1, n
N Thay lần lượt n từ 1 đến 1009 ta được:




0,5đ

0,5đ

0,5đ


0,5đ



2
(4đ)

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M(1;
); N(3;0);
K(4;
).
Xác định các đỉnh của
tam giác ABC sao cho M, N, K
lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA.
Lời giải:
Phương trình đường thẳng MN có dạng y=ax + b.
Vì M(1;
) thuộc đường thẳng MN nên:
= a + b (1)
Vì M(3;0) thuộc đường thẳng MN nên: 0 = 3a + b (2)
Từ (1 ) và (2) suy ra: a = -3/4; b = 9/4
Suy ra phương trình đường thẳng MN là:

Tương tự phương trình đường thẳng MK là:

phương trình đường thẳng NK là:

Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN // AB
Phương trình đường thẳng AB có dạng

Mà K(4;
)
AB suy ra
=> c=

Phương trình đường thẳng AB là:

Tương tự : phương trình đường thẳng BC là:

Phương trình đường thẳng AC là:

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

Suy ra A(2;4)
Tương tự: B(6;1) và C(0;-1)






























0,5đ









0,5đ


0,5đ


0,5đ



Giải phương trình:
.
Lời giải:
Đk: -1