De HSG Toan 9(co DA - 23)

Hướng dẫn chấm và thang điểm thi học sinh giỏi lớp 9 bảng A

Bài
 Hướng dẫn chấm
Điểm





1
Biểu thức có nghĩa khi m khác 0 ; 1 ; -1 ; 3
M =



0,5
0,5

0,5


0,5








2
Ta có M = (a2 +1 )( b2 +1 )( c2 +1 ) =
= (a2 +ab + bc + ca )(b2 +ab + bc + ca )( c2 + ab + bc + ca ) =

Do a ; b ; c là các số hữu tỉ , nên M là số hữu tỉ
Ta có a2 = c2 +2ab –2ac - 2bc +a2 =(a – c)2 +2b(a – c ) =( a – c)( a – c + 2b ).
. b2 = c2 + 2ab – 2ac – 2bc +b2 = = (b – c )2 + 2a( b – c )( b – c +2a ).
Vậy
Vì bhai điều kiện này được suy ra từ điều kiện c2 +2( ab – ac – bc ) như sau :
Nếu b = c thì b2 + 2(ab – ab – b2 ) = -b2 = 0 trái giả thiết
Xét phương trình bậc hai : c2 – 2( a+ b )c +2ab = 0
Có

0,5

0,5



0,5







0,5








3
Xét m = 1 thì (1) trở thành –2x = 2 , nghiệm x = -1 < 0 , loại
Xét m ( 1 phương trình là bậc hai
Ta có P = , xét ba trường hợp :
a) (1) có nghiệm x = 0 ( P = 0 (2)
b) (1) có hai nghiệm trái dấu (3)
c) (1) có hai nghiệm cùng dấu , khi đó phải cùng dương. Ta có:
(4)
Gộp các kết quả (2) ; (3) ; (4 ) ta tìm được các giá trị của m là
-1 < m
0,5




0,5







1,0










4
Nghiệm của hệ đã cho là nghiệm của hai hệ :
(I. Giải ra ta có nghiệm của hệ (I) là ( 1,5 ; 0,5) và của hệ (II) là (3 ;2 )
Giải bằng đồ thị y

2



-1 1 x

Vẽ chính xác ta được A(1,5; 0,5) và B(3;2)
b) Trong x – y – 1 = 0 nếu thay –1 bằng số khác thì đồ thị của phương trình mới song song với đồ thị của phương trình ban đầu . đồ thị này luôn cắt đồ thị của x – 2y + 1 = 0 và x + y – 2 = 0 . Để hệ đã cho chỉ có một nghiệm ta chỉ việc thay –1 trong x – y – 1 = 0 bởi 0 để đồ thị đi qua C (1 ; 1 ) là giao điểm của hai đường thẳng (2) và (3). Giả sử phương trình ban đầu của hệ đã cho là ax + by – 1 = 0 ( với a ; b không đồng thời bằng 0 ) . Đồ thị của nó không thể đồng thời song song với hai đường x + y – 2 = 0 và x – 2y + 1 = 0 là hai đường thẳng cắt nhau . Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm



0,5






0,5









1,0






5
Vì cả hai vế của phương trình đã cho đều không âm nên (1)

Vì vế phải của (2) không âm nên vế