De HSG Toan 9 cap Tinh (16-17)

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 LẦN 3
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
----------------------

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức
.
b) Cho
là các số thực sao cho
thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng:

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Tìm tất cả các số nguyên dương
thỏa mãn:

và

b) Tìm tất cả số nguyên dương
và số nguyên tố
 thỏa mãn đẳng thức:


Câu 3 (3,0 điểm). Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại I và J (R’ > R). Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A. Gọi B và C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (O’ ; R’); D là tiếp điểm của tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I và điểm B ở cùng nửa mặt phẳng bờ là O’A). Đường thẳng AI cắt (O’ ; R’) tại M (điểm M khác điểm I ).
a) Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD. Chứng minh: KB = KD.
b) AO’ cắt BC tại H. Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
.

Câu 4 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:


b) Giải hệ phương trình:


Câu 5 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương
. Chứng minh rằng:


== HẾT ==
Giám thị không giải thích gì thêm!