De HSG Toan 9

 ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9
Năm học: 2008-2009
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút.
( Đề này gồm 06 câu, 01 trang)



Câu 1: (4 điểm)
Cho P(x) là một đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1, thoả mãn P(1) =3, P(3) =11
P(5) = 27. Hãy tính P(-2) + 7P(6).
Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình


Câu 3: (2 điểm)
Cho 2x+4y + 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2
Câu 4: ( 2 điểm)
Tìm các ngiệm nguyên của phương trình :
x(x+1)(x+2)(x+3) = y2
Câu 5: (5 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R), M là điểm chuyển động
trên cung BC. Vẽ đường kính AE cắt BC tại H, MA cắt BC tại I.
Chứng minh MA = MB + MC
Chứng minh:

Xác định vị trí của M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất.
Câu 6 : (3 điểm)
Trên dây cung AB của đường tròn (O) lấy 2 điểm P và Q sao cho AP = PQ = QB

vẽ bán kính OK qua P và bán kính OL qua Q. Chứng minh: cung AK
cung KL

...........................Hết...........................




















 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9
Năm học: 2008-2009
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút.



1212121112
Câu 1: (4 điểm)
Xét đa thức f(x) = x2+ 2 thoả mãn f(1) = 3, f(3) = 11, f(5) = 27
Đặt Q(x) = P(x) – f(x)
Ta có Q(1) = P(1) – f(1) = 0
Q(3) = P(3) – f(3) = 0
Q(5) = P(5) – f(5) = 0
Vậy Q(x) nhận 1;3;5 làm nghiệm
Do P(x) là đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 nên Q(x) cũng là đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1.
Vậy q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – r)

P(x) = Q(x) + f(x)
Ta có P(-2) = (-2 – 1)(-2 – 3)(-2 -5)(-2 –r) + (-2)2 + 2
P(-2) = 3.5.7.2 + 3.5.7.r + 6
7P(6) = 7[(6 – 1)(6 – 3)(6 – 5)(6 – r) + 62 + 2]
= 7[5.3.1(6 –r) + 36 + 2]
= 3.5.6.7 – 3.5.7.r + 38.7
P(-2) + 7P(6) = 3.5.7(2 + 6) + 6 + 38.7
= 3.5.7.8 + 272
=840 + 272 = 1112 Câu 2. (4 điểm)
Đặt x + y + z = t
x + y = t – z, y + z = t – x
Khi đó hệ đã cho có dạng

(1)

(2)

(3)

(4)

Từ (2) ta có x = t2 – xt
x + xt = t2
x =

Dễ thấy t
-1
Từ (4) ta có z =
với x
t, z
t
, t
0, t
-1
Từ (3)
y = t2 – tz + t =

Vậy ta có:


t(4t – 1) = 0, vì t
0 nên t =

Từ đó chỉ ra

Câu 3: (2 điểm)
Ta có (2x + 4y)2 + ( 4x – 2y)2 = 4x2+ 16y2 +16xy + 16x2 + 4y2 –16xy = 20(x2+y2)
Biết rằng (2x + 4y)2 + (4x – 2y)2
(