Đề HSG lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG

ĐỀ DỰ BỊ
(Đề thi có 1 trang)
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi :18/02/2012


Câu 1:(2,0 điểm ) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c .
Câu 2:(2,0 điểm ) Rút gọn : A =
.
Câu 3:(2,0 điểm ) Tính P =


Câu 4:(2,0 điểm ) Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn (O) đường kính AB (C khác A,B).Tia BC cắt
tiếp tuyến tại A của (O) ở M. Tiếp tuyến tại C với (O) cắt AM tại I.
Chứng minh IA = IM.

Câu 5:(1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =


Câu 6:(1,5điểm) Cho 2 số a,b sao cho
. Chứng minh :


Câu 7:(1,5điểm) Chứng minh :
chia hết cho 84.

Câu 8:(1,5điểm) Cho (O;R) và (O’;r) (R>r) cắt nhau .Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB.
(
). Chứng minh rằng :


Câu 9:(1,5điểm) Giải phương trình : x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0

Câu 10:(1,5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC)có trung tuyến AM.Gọi số đo của góc ACB
là
. Số đo của góc AMB bằng
. Chứng minh rằng: ( sin
+ cos
)2 = 1 + sin


Câu 11:(1,5điểm) Cho a, b, c > 0 thoả mãn:
. Tính giá trị của biểu thức:

.

Câu 12:(1,5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC. Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và AB lần lượt tại E và F.
Chứng minh rằng:

. . . . . . . HẾT . . . . . . .
-Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
- Giám thị không được giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh : ...................................... Giám thị 1: .......................................Ký tên...................
Số Báo danh ........................................... Giám thị 2: .......................................Ký tên...................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG


 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Môn : TOÁN
Ngày thi :18/02/2012

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ VÀ THANG ĐIỂM

Câu 1:(2,0 điểm ) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c
Từ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca

2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca 0,5đ

(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 0,5đ

(a – b) = (b – c) = (c – a) = 0 0,5đ

a = b = c 0,5đ
Câu 2:(2,0 điểm ) Rút gọn : A =

A =
0,5đ
A =
0,5đ
A=
=
0,5đ
A =
=
0,5đ
Câu 3:(2,0 điểm ): Tính P =

P =
1đ
P =
=
1đ
Câu 4:(2,0 điểm ) Gọi C là 1 điểm trên nửa đường tròn (O) đường kính AB (C khác A,B).Tia BC cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở M. Tiếp tuyến tại C với (O) cắt AM tại I. Chứng minh IA = IM.


Chứng minh được OI
AC 0,5đ
Chứng minh được OI//MB 0,5đ
Chứng minh được I là trung điểm của AM